Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048264

Что здесь происходит. Узлы схемы: $1$ (слева вверху), $2$ (справа вверху), $3$ (внизу посередине). Батарея $\mathcal{E}_1$ и резистор $R_1$ оба включены между узлами $1$ и $3$ и образуют замкнутый левый контур; батарея $\mathcal{E}_2$ и резистор $R_2$ — правый контур между узлами $2$ и $3$. Конденсатор стоит между узлами $1$ и $2$. После окончания переходных процессов он заряжен, и ток через него не идёт — контуры работают каждый сам по себе, а на конденсаторе оказывается разность потенциалов узлов $2$ и $1$.

Дано: $\mathcal{E}_1=\mathcal{E}_2=6$ В, $r_1=r_2=0{,}5$ Ом, $R_1=6$ Ом, $R_2=12$ Ом, $C=0{,}15$ мкФ. Найти: заряд правой обкладки (она соединена с узлом $2$).

Шаг 1 — полярность. По рисунку у обеих батарей короткая толстая черта («минус») обращена к узлу $3$, а длинная тонкая («плюс») — к проводам, ведущим к узлам $1$ и $2$. Примем $\varphi_3=0$; тогда потенциалы узлов $1$ и $2$ положительны.

Шаг 2 — токи контуров по закону Ома для полной цепи:

$$I_1=\dfrac{\mathcal{E}_1}{R_1+r_1}=\dfrac{6}{6{,}5}=\dfrac{12}{13}\ \text{А}\approx0{,}923\ \text{А},\qquad I_2=\dfrac{\mathcal{E}_2}{R_2+r_2}=\dfrac{6}{12{,}5}=0{,}48\ \text{А}.$$

Шаг 3 — потенциалы узлов. Между узлом и узлом $3$ стоит резистор, поэтому разность потенциалов — напряжение на нём:

$$\varphi_1=I_1R_1=\dfrac{12}{13}\cdot6=\dfrac{72}{13}\approx5{,}538\ \text{В},\qquad \varphi_2=I_2R_2=0{,}48\cdot12=5{,}76\ \text{В}.$$

Оба потенциала немного меньше $6$ В: часть ЭДС каждой батареи падает на её внутреннем сопротивлении, причём у левой батареи ток больше и потеря больше.

Шаг 4 — заряд правой обкладки. Он равен ёмкости, умноженной на разность потенциалов «своего» узла $2$ и «чужого» узла $1$:

$$\varphi_2-\varphi_1=5{,}76-\dfrac{72}{13}=\dfrac{74{,}88-72}{13}=\dfrac{2{,}88}{13}\approx0{,}2215\ \text{В},$$

$$q_{\text{прав}}=C(\varphi_2-\varphi_1)=0{,}15\ \text{мкФ}\cdot0{,}2215\ \text{В}\approx0{,}0332\ \text{мкКл}\approx33\ \text{нКл}=3{,}3\cdot10^{-8}\ \text{Кл}.$$

Знак плюс: правая обкладка подключена к узлу с большим потенциалом. Левая обкладка несёт $-33$ нКл.

Почему здесь важны знаки после запятой. Потенциалы узлов отличаются всего на $0{,}22$ В при самих значениях около $5{,}5$ В. Если округлить их до целых (оба дали бы $6$ В), заряд вышел бы нулевым; поэтому считаем дробями или с тремя-четырьмя знаками.

Проверим себя обходом контура $1\to C\to2\to R_2\to3\to R_1\to1$: $(\varphi_1-\varphi_2)+(\varphi_2-\varphi_3)+(\varphi_3-\varphi_1)=-0{,}2215+5{,}76-5{,}538\approx0$ — сходится. И предельный случай: будь батареи идеальными ($r=0$), оба узла имели бы потенциал $6$ В и конденсатор остался бы незаряженным — разность потенциалов здесь создают именно внутренние сопротивления.

Почему модель законна. Установившийся режим: токи постоянны, конденсатор заряжен, ток через его ветвь равен нулю; ЭДС и внутренние сопротивления постоянны, сопротивлением проводов пренебрегаем; заряд обкладки определяется разностью потенциалов узлов, к которым подключены обкладки.