Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048263

Что здесь происходит. На схеме три узла: $1$ (слева вверху), $2$ (справа вверху) и $3$ (внизу посередине). Между узлами $1$ и $3$ стоят батарея $\mathcal{E}_1$ и резистор $R_1$ — они замыкаются друг на друга в левый контур. Между узлами $2$ и $3$ так же работают батарея $\mathcal{E}_2$ и резистор $R_2$. Конденсатор $C$ подключён между узлами $1$ и $2$. Когда переходные процессы закончились, конденсатор заряжен и ток через него не идёт, поэтому левый и правый контуры работают независимо, а конденсатор лишь «измеряет» разность потенциалов узлов $1$ и $2$.

Дано: $\mathcal{E}_1=\mathcal{E}_2=9$ В, $r_1=r_2=1$ Ом, $R_1=8$ Ом, $R_2=11$ Ом, $C=0{,}1$ мкФ. Найти: заряд левой обкладки (она соединена с узлом $1$).

Шаг 1 — полярность по рисунку. У батареи длинная тонкая черта — «плюс», короткая толстая — «минус». У батареи $\mathcal{E}_1$ короткая толстая черта обращена к узлу $3$, длинная — к левому проводу, идущему к узлу $1$. У батареи $\mathcal{E}_2$ короткая толстая черта тоже обращена к узлу $3$, длинная — к правому проводу к узлу $2$. Значит, «минусы» обеих батарей сходятся в узле $3$, а узлы $1$ и $2$ — со стороны «плюсов». Примем $\varphi_3=0$.

Шаг 2 — левый контур. По закону Ома для полной цепи

$$I_1=\dfrac{\mathcal{E}_1}{R_1+r_1}=\dfrac{9}{8+1}=1\ \text{А}.$$

Между узлами $1$ и $3$ включён резистор $R_1$, поэтому разность потенциалов — это напряжение на нём (и одновременно на клеммах батареи), а не ЭДС: часть ЭДС «теряется» на внутреннем сопротивлении.

$$\varphi_1-\varphi_3=I_1R_1=1\cdot8=8\ \text{В}.$$

Шаг 3 — правый контур:

$$I_2=\dfrac{\mathcal{E}_2}{R_2+r_2}=\dfrac{9}{11+1}=0{,}75\ \text{А},\qquad \varphi_2-\varphi_3=I_2R_2=0{,}75\cdot11=8{,}25\ \text{В}.$$

Шаг 4 — напряжение на конденсаторе. Оба напряжения отсчитаны от одного узла $3$, поэтому между узлами $1$ и $2$ они вычитаются:

$$\varphi_1-\varphi_2=8-8{,}25=-0{,}25\ \text{В}.$$

Шаг 5 — заряд левой обкладки. Заряд обкладки равен ёмкости, умноженной на разность «потенциал своей обкладки минус потенциал другой»:

$$q_{\text{лев}}=C(\varphi_1-\varphi_2)=0{,}1\ \text{мкФ}\cdot(-0{,}25\ \text{В})=-0{,}025\ \text{мкКл}=-25\ \text{нКл}=-2{,}5\cdot10^{-8}\ \text{Кл}.$$

Минус означает, что левая обкладка подключена к узлу с меньшим потенциалом и заряжена отрицательно; правая обкладка несёт $+25$ нКл.

Проверим себя обходом контура $1\to C\to2\to R_2\to3\to R_1\to1$: $(\varphi_1-\varphi_2)+(\varphi_2-\varphi_3)+(\varphi_3-\varphi_1)=-0{,}25+8{,}25-8=0$ — сходится. И ещё: если бы вторую батарею перевернули, напряжения на конденсаторе сложились бы ($8+8{,}25=16{,}25$ В), и заряд вырос бы в $65$ раз — так что полярность прочитана не зря.

Почему модель законна. Рассматриваем установившийся режим: токи постоянны, конденсатор заряжен и ток через его ветвь равен нулю; ЭДС и внутренние сопротивления батарей постоянны, сопротивлением проводов пренебрегаем; заряд обкладки определяется только разностью потенциалов узлов, к которым она подключена, и не зависит от того, как шли переходные процессы.