L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048243

Что здесь происходит. Пока ключ замкнут, катушка, конденсатор, резистор и источник подключены параллельно к одним и тем же двум проводам. Через катушку идёт постоянный ток, и в ней запасена энергия магнитного поля. Когда ключ размыкают, катушка и конденсатор остаются замкнутыми друг на друга — получается колебательный контур. Энергия катушки перекачивается в конденсатор, и в момент максимального заряда она вся сидит в конденсаторе. Отсюда найдём индуктивность.

Дано: $\mathcal{E}=10$ В, $r=2$ Ом, $C=1\ \text{мкФ}=10^{-6}$ Ф, $R=5$ Ом, $q_{\max}=4\ \text{мКл}=4\cdot10^{-3}$ Кл. Найти: $L$.

Шаг 1 — ключ замкнут. Катушка без сопротивления: при постоянном токе напряжение на ней равно нулю. Все четыре ветви подключены к одним и тем же проводам, значит, напряжение между проводами равно нулю. Отсюда: через резистор ток не идёт ($U=0$), конденсатор не заряжен ($q=CU=0$), а весь ток источника идёт через катушку и ограничен только внутренним сопротивлением:

$$I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}=\dfrac{10}{2}=5\ \text{А}.$$

Энергия катушки $W_L=\dfrac{LI_0^2}{2}$, энергия конденсатора равна нулю.

Шаг 2 — ключ разомкнули. По рисунку ключ стоит в нижнем проводе между конденсатором и резистором. После размыкания нижние концы катушки и конденсатора соединены между собой, но отрезаны от резистора и источника — замкнутый контур образуют только $L$ и $C$. Сопротивления в нём нет, энергия сохраняется.

Шаг 3 — закон сохранения энергии. Когда заряд конденсатора максимален, ток в катушке равен нулю, и вся энергия — в конденсаторе:

$$\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{q_{\max}^2}{2C}\quad\Rightarrow\quad L=\dfrac{q_{\max}^2}{CI_0^2}=\dfrac{q_{\max}^2r^2}{C\mathcal{E}^2}.$$

Шаг 4 — числа:

$$L=\dfrac{(4\cdot10^{-3})^2}{10^{-6}\cdot5^2}=\dfrac{16\cdot10^{-6}}{25\cdot10^{-6}}=0{,}64\ \text{Гн}.$$

Проверим себя. Энергия катушки до размыкания $\dfrac{0{,}64\cdot25}{2}=8$ Дж, энергия конденсатора при максимальном заряде $\dfrac{(4\cdot10^{-3})^2}{2\cdot10^{-6}}=8$ Дж — совпали. Размерность: $\dfrac{\text{Кл}^2}{\text{Ф}\cdot\text{А}^2}=\dfrac{\text{Кл}\cdot\text{В}}{\text{А}^2}=\dfrac{\text{Дж}}{\text{А}^2}=\text{Гн}$. Резистор $R=5$ Ом в ответ не вошёл: при замкнутом ключе катушка его «закорачивает», а после размыкания он вне контура.

Почему модель законна. Режим до размыкания установившийся (ток постоянный, конденсатор не заряжается); катушка и провода без сопротивления, поэтому контур $LC$ идеальный и полная энергия в нём сохраняется; излучением пренебрегаем.