L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048123

Что здесь происходит. В идеальном контуре нет сопротивления, поэтому энергия не теряется, а только перетекает: то она вся в электрическом поле конденсатора, то вся в магнитном поле катушки, а в промежуточные моменты делится между ними. Ни ёмкости, ни индуктивности нам не дали — придётся решать так, чтобы они не понадобились.

Шаг 1 — энергия контура в двух «крайних» моментах. Когда напряжение на конденсаторе максимально ($U_m$), ток равен нулю, и вся энергия в конденсаторе. Когда ток максимален ($I_m$), конденсатор разряжен, и вся энергия в катушке. Энергия одна и та же, поэтому

$$W=\dfrac{CU_m^2}{2}=\dfrac{LI_m^2}{2}.$$

Шаг 2 — энергия в момент $t$. Сейчас на конденсаторе $U$, в катушке ток $I$, и сумма их энергий равна той же $W$ (закон сохранения энергии):

$$\dfrac{CU^2}{2}+\dfrac{LI^2}{2}=W.$$

Шаг 3 — избавляемся от $C$ и $L$. Разделим обе части на $W$. Первое слагаемое удобно делить на $\dfrac{CU_m^2}{2}$, второе — на $\dfrac{LI_m^2}{2}$ (это одно и то же число $W$):

$$\left(\dfrac{U}{U_m}\right)^2+\left(\dfrac{I}{I_m}\right)^2=1\quad\Rightarrow\quad I=I_m\sqrt{1-\left(\dfrac{U}{U_m}\right)^2}.$$

Смысл простой: $\left(\dfrac{U}{U_m}\right)^2$ — доля энергии, которая сейчас в конденсаторе, остальное — в катушке.

Шаг 4 — считаем. $\dfrac{U}{U_m}=\dfrac{1{,}2}{3}=0{,}4$, квадрат $0{,}16$ — столько энергии в конденсаторе. В катушке $1-0{,}16=0{,}84$ всей энергии, и

$$I=5\cdot\sqrt{0{,}84}\approx5\cdot0{,}917\approx4{,}6\ \text{мА}.$$

Ток может течь в любую сторону — конденсатор в этот момент либо заряжается, либо разряжается, — но по модулю сила тока одна и та же: $4{,}6$ мА.

Проверим себя. Через фазу: если $U=U_m\cos\omega t$, то $I=I_m\sin\omega t$; $\cos\omega t=0{,}4$, значит $\sin\omega t=\sqrt{1-0{,}16}\approx0{,}917$ и $I\approx4{,}6$ мА — то же самое. Крайние случаи: при $U=0$ формула даёт весь $I_m=5$ мА, при $U=U_m$ — ноль, как и должно быть. А «пропорция» (напряжение упало до $0{,}4$ от максимума, значит ток $0{,}6$ от максимума, $3$ мА) была бы ошибкой: в энергию напряжение и ток входят в квадрате.

Почему модель законна. Контур идеальный — активного сопротивления нет, поэтому полная энергия сохраняется, а колебания напряжения и тока гармонические со сдвигом на четверть периода.