L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048159

Что здесь происходит. В идеальном контуре энергия без потерь перетекает из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. График показывает заряд конденсатора, а спрашивают про энергию катушки. Значит, нужно понять, какая часть полной энергии контура в момент $7$ мкс «сидит» в конденсаторе, — всё остальное в этот момент в катушке.

Шаг 1 — читаем график. Одна клетка по горизонтали — $1$ мкс, по вертикали — $0{,}5$ мкКл. Заряд стартует из нуля, достигает максимума $q_m=3$ мкКл в момент $2$ мкс, минимума $-3$ мкКл в момент $6$ мкс и проходит ноль с ростом при $8$ мкс. Значит, период

$$T=8\ \text{мкс}=8\cdot10^{-6}\ \text{с},\qquad q_m=3\cdot10^{-6}\ \text{Кл}.$$

Шаг 2 — ёмкость. Её в условии нет, но период свободных колебаний задаётся формулой Томсона, а индуктивность известна:

$$T=2\pi\sqrt{LC}\quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{T^2}{4\pi^2L}.$$

Считаем: $C=\dfrac{(8\cdot10^{-6})^2}{4\cdot9{,}87\cdot3\cdot10^{-6}}=\dfrac{64\cdot10^{-12}}{118{,}4\cdot10^{-6}}\approx5{,}4\cdot10^{-7}$ Ф.

Шаг 3 — заряд в момент $7$ мкс. По клеткам его точно не снять: кривая идёт между делениями. Но заряд меняется по синусоиде $q=q_m\sin\dfrac{2\pi t}{T}$, и при $t=7$ мкс фаза равна $\dfrac{2\pi\cdot7}{8}=\dfrac{7\pi}{4}$ (это $315^\circ$). Синус этого угла равен $-\dfrac{\sqrt2}{2}$, поэтому

$$q=3\cdot\left(-0{,}707\right)\approx-2{,}12\ \text{мкКл}.$$

На графике это видно: в $7$ мкс кривая чуть ниже отметки $-2$ мкКл — посередине между минимумом в $6$ мкс и нулём в $8$ мкс.

Шаг 4 — закон сохранения энергии. Полная энергия контура постоянна; удобнее всего записать её в момент, когда заряд максимален и тока нет, — тогда вся энергия в конденсаторе: $W=\dfrac{q_m^2}{2C}$. В момент $7$ мкс в конденсаторе энергия $\dfrac{q^2}{2C}$, а остальное — в катушке:

$$W_L=\dfrac{q_m^2}{2C}-\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{q_m^2-q^2}{2C}.$$

Знак заряда тут не важен — он стоит в квадрате. Подставляем: $q_m^2-q^2=9\cdot10^{-12}-4{,}5\cdot10^{-12}=4{,}5\cdot10^{-12}$ Кл², и

$$W_L=\dfrac{4{,}5\cdot10^{-12}}{2\cdot5{,}4\cdot10^{-7}}\approx4{,}2\cdot10^{-6}\ \text{Дж}=4{,}2\ \text{мкДж}.$$

Проверим себя через ток. Амплитуда тока $I_m=\omega q_m=\dfrac{2\pi}{T}q_m=\dfrac{6{,}28}{8\cdot10^{-6}}\cdot3\cdot10^{-6}\approx2{,}36$ А. Ток меняется как косинус: $I=I_m\cos\dfrac{7\pi}{4}\approx2{,}36\cdot0{,}707\approx1{,}67$ А. Энергия катушки $\dfrac{LI^2}{2}=\dfrac{3\cdot10^{-6}\cdot1{,}67^2}{2}\approx4{,}2\cdot10^{-6}$ Дж — совпало. И по смыслу: в момент $8$ мкс заряд равен нулю и вся энергия контура в катушке, $\dfrac{LI_m^2}{2}\approx8{,}3$ мкДж; в момент $7$ мкс в катушке ровно половина — меньше максимума, как и должно быть.

Почему модель законна. Контур идеальный — без активного сопротивления, поэтому полная энергия сохраняется, колебания гармонические, а период выражается формулой Томсона.