L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048115

Что здесь происходит. В идеальном контуре нет сопротивления, поэтому энергия без потерь перекачивается из конденсатора в катушку и обратно, а ток меняется по синусоиде. График тока у нас есть, а про заряд ничего не сказано — его придётся восстановить, зная, что ток показывает, как быстро меняется заряд конденсатора.

Шаг 1 — снимаем с графика всё нужное. Одна клетка по горизонтали — $1$ мкс, по вертикали — $0{,}1$ А. Ток стартует из нуля при $t=0$, растёт, достигает максимума $I_m=0{,}6$ А в момент $2$ мкс, проходит через ноль при $4$ мкс, опускается до $-0{,}6$ А при $6$ мкс и возвращается в ноль с ростом при $8$ мкс. Дальше всё повторяется, значит период колебаний

$$T=8\ \text{мкс}=8\cdot10^{-6}\ \text{с}.$$

Шаг 2 — как ток связан с зарядом. Ток — это скорость изменения заряда: $I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$ на малом промежутке. Когда заряд конденсатора максимален по модулю, он на мгновение перестаёт меняться — ток в этот момент равен нулю. И наоборот: в момент наибольшего тока конденсатор полностью разряжен. На нашем графике ток равен нулю при $t=0$, $4$ и $8$ мкс — в эти моменты заряд конденсатора максимален по модулю. Значит, заряд меняется «со сдвигом на четверть периода» относительно тока: если $I=I_m\sin\omega t$, то модуль заряда меняется как $q_m\left|\cos\omega t\right|$.

Шаг 3 — амплитуда заряда. При гармонических колебаниях амплитуда «скорости» равна амплитуде «координаты», умноженной на циклическую частоту $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$. Для контура «координата» — это заряд, а «скорость» — ток:

$$I_m=\omega q_m=\dfrac{2\pi}{T}\,q_m\quad\Rightarrow\quad q_m=\dfrac{I_mT}{2\pi}.$$

Подставляем: $q_m=\dfrac{0{,}6\cdot8\cdot10^{-6}}{2\cdot3{,}14}=\dfrac{4{,}8\cdot10^{-6}}{6{,}28}\approx7{,}64\cdot10^{-7}$ Кл.

Шаг 4 — заряд в момент $t=7$ мкс. Этот момент — $\dfrac{7}{8}$ периода, то есть фаза $\omega t=\dfrac{2\pi}{8}\cdot7=\dfrac{7\pi}{4}$ (это $315^\circ$). Косинус этого угла равен $\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$. Поэтому

$$|q|=q_m\left|\cos\dfrac{7\pi}{4}\right|=7{,}64\cdot10^{-7}\cdot0{,}707\approx5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{Кл}\approx0{,}54\ \text{мкКл}.$$

Знак заряда зависит от того, про какую обкладку говорить, поэтому «заряд конденсатора» — это модуль заряда любой из его обкладок.

Проверим себя через энергию. В момент $7$ мкс ток $I=0{,}6\sin\dfrac{7\pi}{4}\approx-0{,}42$ А — на графике кривая как раз чуть ниже отметки $-0{,}4$ А. Энергия катушки пропорциональна $I^2$, поэтому сейчас в катушке доля $\left(\dfrac{0{,}42}{0{,}6}\right)^2\approx0{,}5$ всей энергии контура. Вторая половина — в конденсаторе, а его энергия пропорциональна $q^2$: $\left(\dfrac{5{,}4}{7{,}64}\right)^2\approx0{,}5$. Сумма долей равна единице — закон сохранения энергии выполняется. Тот же результат даёт и формула $|q|=\dfrac{T}{2\pi}\sqrt{I_m^2-I^2}=1{,}27\cdot10^{-6}\cdot\sqrt{0{,}36-0{,}18}\approx5{,}4\cdot10^{-7}$ Кл.

Почему модель законна. Контур идеальный — активного сопротивления нет, поэтому колебания незатухающие и гармонические, амплитуды тока и заряда постоянны и связаны через $\omega$, а полная энергия контура сохраняется.