L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048125

Что здесь происходит. В идеальном контуре заряд конденсатора и ток в катушке колеблются с одним и тем же периодом: пока конденсатор разряжается, ток растёт, и наоборот. Нам дали мгновенный заряд, а амплитуду — только у тока. Чтобы сравнить мгновенное значение с амплитудой «на равных», сначала найдём амплитуду заряда.

Шаг 1 — амплитуда заряда. Ток — это скорость изменения заряда. При гармонических колебаниях амплитуда скорости изменения величины равна её амплитуде, умноженной на циклическую частоту $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$:

$$I_m=\omega q_m=\dfrac{2\pi}{T}q_m\quad\Rightarrow\quad q_m=\dfrac{I_mT}{2\pi}.$$

Подставляем $I_m=5\cdot10^{-3}$ А и $T=6{,}3\cdot10^{-6}$ с: $q_m=\dfrac{5\cdot10^{-3}\cdot6{,}3\cdot10^{-6}}{6{,}28}=\dfrac{31{,}5\cdot10^{-9}}{6{,}28}\approx5{,}0\cdot10^{-9}$ Кл $=5{,}0$ нКл.

Шаг 2 — как делится энергия. Полная энергия контура постоянна. Энергия конденсатора $\dfrac{q^2}{2C}$ пропорциональна квадрату заряда, поэтому сейчас в конденсаторе доля $\left(\dfrac{q}{q_m}\right)^2$ всей энергии. Энергия катушки $\dfrac{LI^2}{2}$ пропорциональна квадрату тока, и в ней доля $\left(\dfrac{I}{I_m}\right)^2$. Вместе — вся энергия:

$$\left(\dfrac{q}{q_m}\right)^2+\left(\dfrac{I}{I_m}\right)^2=1\quad\Rightarrow\quad I=I_m\sqrt{1-\left(\dfrac{q}{q_m}\right)^2}.$$

Шаг 3 — считаем. $\dfrac{q}{q_m}=\dfrac{3}{5{,}0}=0{,}6$, квадрат $0{,}36$ — такая доля энергии в конденсаторе. В катушке $1-0{,}36=0{,}64$, и

$$I=5\cdot\sqrt{0{,}64}=5\cdot0{,}8=4\ \text{мА}.$$

Если считать точнее, $q_m\approx5{,}01$ нКл и $I\approx4{,}0$ мА — то же самое.

Проверим себя через фазу. Пусть $q=q_m\cos\omega t$, тогда $I=I_m\sin\omega t$. Из заряда $\cos\omega t=0{,}6$, значит $\sin\omega t=0{,}8$ и $I=0{,}8\cdot5=4$ мА — совпало. И ещё одна проверка: амплитуда заряда ($5$ нКл) получилась больше мгновенного заряда ($3$ нКл), как и должно быть. Ошибка «взять $\nu=\dfrac{1}{T}$ вместо $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$» дала бы $q_m=I_mT\approx31{,}5$ нКл и совсем другой ток.

Почему модель законна. Контур идеальный — без активного сопротивления, поэтому колебания незатухающие и гармонические, а полная энергия сохраняется. Ёмкость и индуктивность по отдельности не нужны: всё, что от них зависит, уже «спрятано» в периоде.