ID: 00019532
В колебательном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, происходят свободные электромагнитные колебания с периодом $T = 50{,}24$ мкс и максимальным напряжением на конденсаторе $U_{max}$. Зависимость энергии электрического поля конденсатора от разности потенциалов между его обкладками в пределах от $0$ до $U_{max}$ приведена на графике (см. рисунок).
Определите максимальное значение силы тока в контуре.
Источник: ФИПИ
В идеальном контуре энергия гуляет туда-сюда между конденсатором и катушкой, но её сумма постоянна. Значит максимум энергии электрического поля (когда весь заряд на конденсаторе, ток равен нулю) равен максимуму энергии магнитного поля (когда весь ток в катушке, конденсатор разряжен). С графика снимем максимальную энергию и заодно ёмкость, из периода найдём индуктивность — и доберёмся до максимального тока.
В крайней отмеченной точке при $U_{max} = 200$ В энергия поля конденсатора максимальна: $W_{max} = 0{,}8$ мДж $= 8\cdot10^{-4}$ Дж. Так как энергия конденсатора $W = \dfrac{C U^2}{2}$, найдём ёмкость: $$C = \dfrac{2 W_{max}}{U_{max}^2} = \dfrac{2\cdot 8\cdot10^{-4}}{200^2} = 4\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.$$
Формула Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$ даёт $LC = \left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2$. Здесь $\dfrac{T}{2\pi} = \dfrac{50{,}24\cdot10^{-6}}{2\pi} \approx 8\cdot10^{-6}$ с, поэтому $LC = 6{,}4\cdot10^{-11}$ и $$L = \dfrac{6{,}4\cdot10^{-11}}{4\cdot10^{-8}} = 1{,}6\cdot10^{-3}\ \text{Гн}.$$
По закону сохранения энергии максимум магнитной энергии равен максимуму электрической: $\dfrac{L I_{max}^2}{2} = W_{max}$, откуда $$I_{max} = \sqrt{\dfrac{2 W_{max}}{L}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 8\cdot10^{-4}}{1{,}6\cdot10^{-3}}} = \sqrt{1} = 1\ \text{А}.$$ Для проверки удобно использовать связь амплитуд $I_{max} = \dfrac{2\pi}{T} C U_{max}$ — получается то же самое, $1$ А.
I_max = 1 А