ID: 00019532
В колебательном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, происходят свободные электромагнитные колебания с периодом T = 50{,}24 мкс и максимальным напряжением на конденсаторе U_{max}. Зависимость энергии электрического поля конденсатора от разности потенциалов между его обкладками в пределах от 0 до U_{max} приведена на графике (см. рисунок).
Определите максимальное значение силы тока в контуре.
Источник: ФИПИ
В идеальном контуре энергия гуляет туда-сюда между конденсатором и катушкой, но её сумма постоянна. Значит максимум энергии электрического поля (когда весь заряд на конденсаторе, ток равен нулю) равен максимуму энергии магнитного поля (когда весь ток в катушке, конденсатор разряжен). С графика снимем максимальную энергию и заодно ёмкость, из периода найдём индуктивность — и доберёмся до максимального тока.
В крайней отмеченной точке при U_{max} = 200 В энергия поля конденсатора максимальна: W_{max} = 0{,}8 мДж = 8\cdot10^{-4} Дж. Так как энергия конденсатора W = \dfrac{C U^2}{2}, найдём ёмкость: C = \dfrac{2 W_{max}}{U_{max}^2} = \dfrac{2\cdot 8\cdot10^{-4}}{200^2} = 4\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.
Формула Томсона T = 2\pi\sqrt{LC} даёт LC = \left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2. Здесь \dfrac{T}{2\pi} = \dfrac{50{,}24\cdot10^{-6}}{2\pi} \approx 8\cdot10^{-6} с, поэтому LC = 6{,}4\cdot10^{-11} и L = \dfrac{6{,}4\cdot10^{-11}}{4\cdot10^{-8}} = 1{,}6\cdot10^{-3}\ \text{Гн}.
По закону сохранения энергии максимум магнитной энергии равен максимуму электрической: \dfrac{L I_{max}^2}{2} = W_{max}, откуда I_{max} = \sqrt{\dfrac{2 W_{max}}{L}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 8\cdot10^{-4}}{1{,}6\cdot10^{-3}}} = \sqrt{1} = 1\ \text{А}. Для проверки удобно использовать связь амплитуд I_{max} = \dfrac{2\pi}{T} C U_{max} — получается то же самое, 1 А.
Ответ: I_{max} = 1 А.
I_max = 1 А