L/C контур — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048120

Что здесь происходит. Контур идеальный: энергия перетекает между конденсатором и катушкой без потерь. График показывает, как энергия конденсатора зависит от напряжения на нём, вплоть до максимального напряжения. Отсюда можно узнать ёмкость и полную энергию контура. Индуктивность найдём по току в особый момент — когда энергия поделена поровну. А зная $L$ и $C$, период даст формула Томсона.

Шаг 1 — читаем график. По горизонтали $10$ клеток — это $200$ В, одна клетка $20$ В; по вертикали $10$ клеток — $1{,}0$ мДж, одна клетка $0{,}1$ мДж. Кривая обрывается в точке $U_{\max}=200$ В, $E_{\text{эл.max}}=0{,}8$ мДж. Дальше она не идёт, потому что больше $U_{\max}$ напряжение на конденсаторе не бывает: в этот момент ток равен нулю и вся энергия контура — в конденсаторе. Значит, полная энергия контура $W=0{,}8$ мДж $=8\cdot10^{-4}$ Дж.

Шаг 2 — ёмкость. Энергия заряженного конденсатора $E_{\text{эл}}=\dfrac{CU^2}{2}$, поэтому

$$C=\dfrac{2E_{\text{эл.max}}}{U_{\max}^2}=\dfrac{2\cdot8\cdot10^{-4}}{200^2}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-3}}{4\cdot10^4}=4\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.$$

Проверка чтения графика: при $100$ В кривая проходит через $0{,}2$ мДж, и $\dfrac{2\cdot2\cdot10^{-4}}{100^2}=4\cdot10^{-8}$ Ф — та же ёмкость.

Шаг 3 — индуктивность. В момент, когда энергии конденсатора и катушки совпадали, каждому досталась половина полной энергии: в катушке $\dfrac{LI^2}{2}=\dfrac{W}{2}=4\cdot10^{-4}$ Дж. Отсюда

$$L=\dfrac{W}{I^2}=\dfrac{8\cdot10^{-4}}{0{,}71^2}=\dfrac{8\cdot10^{-4}}{0{,}504}\approx1{,}59\cdot10^{-3}\ \text{Гн}.$$

Шаг 4 — период по формуле Томсона:

$$T=2\pi\sqrt{LC}=6{,}28\cdot\sqrt{1{,}59\cdot10^{-3}\cdot4\cdot10^{-8}}=6{,}28\cdot\sqrt{6{,}35\cdot10^{-11}}\approx6{,}28\cdot7{,}97\cdot10^{-6}\approx5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{с}=50\ \text{мкс}.$$

Проверим себя вторым путём — через амплитуды. Амплитуда заряда $q_{\max}=CU_{\max}=4\cdot10^{-8}\cdot200=8\cdot10^{-6}$ Кл. Амплитуда тока: в катушке в момент равенства энергий половина энергии, значит, $I=\dfrac{I_{\max}}{\sqrt2}$ и $I_{\max}=0{,}71\cdot1{,}41\approx1{,}0$ А. При гармонических колебаниях $I_{\max}=\dfrac{2\pi}{T}q_{\max}$, откуда $T=\dfrac{2\pi q_{\max}}{I_{\max}}=\dfrac{6{,}28\cdot8\cdot10^{-6}}{1{,}0}\approx5{,}0\cdot10^{-5}$ с — совпало. Если бы $0{,}71$ А ошибочно приняли за амплитуду тока, период вышел бы в $\sqrt2$ раз больше — это неверно.

Почему модель законна. Активного сопротивления нет — энергия контура сохраняется, колебания гармонические, а период свободных колебаний задаётся формулой Томсона.