Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048161

Что здесь происходит. Батарея гонит ток по замкнутой цепи: внутреннее сопротивление $r$, резистор $R_1$, резистор $R_2$. Одна обкладка конденсатора всегда подключена к точке 0 между резисторами, а вторая через ключ — либо к точке 1 (верхний контакт, провод, идущий к $R_1$), либо к точке 2 (нижний контакт, провод, идущий к $R_2$). Конденсатор работает как «вольтметр с памятью»: его заряд пропорционален напряжению между точкой 0 и той точкой, к которой подключён ключ.

Шаг 1 — ток в цепи. Когда зарядка закончилась, через ветку с конденсатором ток не идёт — конденсатор постоянный ток не пропускает. Значит, в любом положении ключа ток течёт только по контуру «батарея — $R_1$ — $R_2$», и по закону Ома для полной цепи

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R_1+R_2}=\dfrac{12}{200+2000+1400}=\dfrac{12}{3600}\approx3{,}33\cdot10^{-3}\ \text{А}.$$

Внутреннее сопротивление выбрасывать нельзя: без него ток был бы $\dfrac{12}{3400}\approx3{,}53$ мА, и ответ ушёл бы примерно на $6\%$.

Шаг 2 — напряжения на резисторах (закон Ома для участка): $U_1=IR_1=3{,}33\cdot10^{-3}\cdot2000\approx6{,}67$ В, $U_2=IR_2=3{,}33\cdot10^{-3}\cdot1400\approx4{,}67$ В.

Шаг 3 — где выше потенциал. На рисунке у источника длинная тонкая черта (плюс) сверху, поэтому ток идёт от верхнего провода через $R_1$ к точке 0 и дальше через $R_2$ к нижнему проводу. Потенциал падает по ходу тока: точка 1 выше точки 0 на $U_1$, а точка 2 ниже точки 0 на $U_2$.

Шаг 4 — заряд в каждом положении. Ответ просят со знаком, но условие не говорит, заряд какой обкладки считать, а у двух обкладок заряды всегда равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому договоримся сразу: зарядом конденсатора $Q$ считаем заряд обкладки на ключе — той, что подключается то к точке 1, то к точке 2. Точка 0 служит точкой отсчёта, как «земля». За этой обкладкой следим в обоих положениях ключа. Тогда $Q=C\left(\varphi_{\text{ключа}}-\varphi_0\right)$.

Положение «2»: обкладка у ключа ниже точки 0 по потенциалу, её заряд отрицательный: $Q_2=-CU_2=-10\cdot10^{-6}\cdot4{,}67\approx-4{,}67\cdot10^{-5}$ Кл.

Положение «1»: обкладка у ключа выше точки 0, заряд положительный: $Q_1=CU_1=10\cdot10^{-6}\cdot6{,}67\approx6{,}67\cdot10^{-5}$ Кл.

Шаг 5 — изменение заряда обкладки на ключе. Переключаем из «2» в «1», поэтому из конечного заряда этой обкладки вычитаем начальный:

$$\Delta Q=Q_1-Q_2=CU_1+CU_2=\dfrac{C\varepsilon\left(R_1+R_2\right)}{r+R_1+R_2}.$$

$$\Delta Q=6{,}67\cdot10^{-5}+4{,}67\cdot10^{-5}\approx1{,}13\cdot10^{-4}\ \text{Кл}\approx113\ \text{мкКл}.$$

Заряд обкладки не просто уменьшился или вырос по модулю — он сменил знак, поэтому модули складываются. Если бы мы вычли $6{,}67-4{,}67$, получили бы всего $20$ мкКл — это типичная ошибка. Для другой обкладки (у точки 0) изменение такое же по модулю и противоположное по знаку.

Проверим себя. Обкладки в двух положениях «видят» точки 1 и 2, а напряжение между ними — это напряжение на двух резисторах вместе, $I(R_1+R_2)\approx11{,}3$ В. Оно меньше ЭДС $12$ В (часть ЭДС «съедает» внутреннее сопротивление), поэтому модуль изменения заряда обязан быть меньше $C\varepsilon=120$ мкКл. У нас $113$ мкКл — сходится. А обратное переключение, из «1» в «2», дало бы $-113$ мкКл.

Почему модель законна. Процессы перезарядки закончились — ток через конденсатор равен нулю, поэтому ток в цепи не зависит от положения ключа и считается по закону Ома для полной цепи; соединительные провода считаем без сопротивления, так что точки 1 и 2 имеют потенциалы соответствующих полюсов внешней цепи.