Электрические… — Задание 21 ЕГЭ по физике №00048138

Сначала разберёмся со схемой. Источник подключён к левому и правому узлам. Между ними две «дорожки»: верхняя — реостат и резистор 3, нижняя — резисторы 1 и 2. Амперметр соединяет середину верхней дорожки (точку $M$ между реостатом и резистором 3) с серединой нижней (точкой $N$ между резисторами 1 и 2). Ползунок реостата соединён с левым узлом, а правый вывод реостата — с точкой $M$, поэтому в работе участок обмотки от ползунка до правого конца. В начале ползунок слева — работает вся обмотка, $R_x=R$; при движении вправо рабочий участок укорачивается, и в конце $R_x=0$.

Шаг 1 — упростим схему. Идеальный амперметр не имеет сопротивления, поэтому точки $M$ и $N$ — фактически одна точка. Тогда цепь — это два последовательных блока: левый (реостат $R_x$ параллельно резистору 1) и правый (резисторы 3 и 2 параллельно, вместе $\dfrac{R}{2}$). Через амперметр идёт разность токов: по правилу узла ток, пришедший в точку $M$ через реостат, частично уходит через резистор 3, а остаток — через амперметр:

$$I_A=I_x-I_3$$

Шаг 2 — начальное положение, $R_x=R$. Все четыре сопротивления одинаковы, и схема симметрична: напряжение источника делится между левым и правым блоками поровну, по $\dfrac{\mathcal{E}}{2}$. Тогда через реостат идёт ток $\dfrac{\mathcal{E}}{2R}$ и через резистор 3 — тоже $\dfrac{\mathcal{E}}{2R}$. Всё, что пришло в $M$, ушло через резистор 3, и $I_A=0$. Это сбалансированный мост.

Шаг 3 — конечное положение, $R_x=0$. Реостат превратился в провод и закоротил резистор 1: левый узел соединён с точкой $M$ напрямую. Всё напряжение источника приходится на правый блок, и по закону Ома для участка через резистор 3 идёт ток $I_3=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$, через резистор 2 — тоже $\dfrac{\mathcal{E}}{R}$. Ток через резистор 1 равен нулю (напряжение на нём нулевое), значит весь ток источника $\dfrac{2\mathcal{E}}{R}$ идёт через реостат: $I_x=\dfrac{2\mathcal{E}}{R}$. Ток амперметра:

$$I_A=\dfrac{2\mathcal{E}}{R}-\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$$

Шаг 4 — промежуточные положения. Пусть $R_x=xR$, где $x$ убывает от $1$ до $0$. Сопротивление левого блока $\dfrac{xR}{1+x}$, правого $\dfrac{R}{2}$. Напряжение делится пропорционально сопротивлениям, поэтому на левом блоке $U_1=\dfrac{2x\mathcal{E}}{3x+1}$, на правом $U_2=\dfrac{(1+x)\mathcal{E}}{3x+1}$. Отсюда

$$I_x=\dfrac{U_1}{xR}=\dfrac{2\mathcal{E}}{(3x+1)R},\qquad I_3=\dfrac{U_2}{R}=\dfrac{(1+x)\mathcal{E}}{(3x+1)R},\qquad I_A=\dfrac{(1-x)\mathcal{E}}{(3x+1)R}$$

Когда $x$ уменьшается, числитель $1-x$ растёт, а знаменатель $3x+1$ убывает — дробь всё время растёт. Значит, показания амперметра увеличиваются плавно и без «горбов» — от $0$ при $x=1$ до $\dfrac{\mathcal{E}}{R}$ при $x=0$.

Проверим себя промежуточной точкой: при $R_x=\dfrac{R}{2}$, то есть $x=\dfrac12$, получаем $I_A=\dfrac{0{,}5\,\mathcal{E}}{2{,}5R}=\dfrac{\mathcal{E}}{5R}$ — число между $0$ и $\dfrac{\mathcal{E}}{R}$, как и должно быть.