Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048126

Что здесь происходит. Источник подключён к батарее из четырёх конденсаторов. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому, как только они зарядятся, ток в цепи прекратится. Нужно понять, какое напряжение достанется конденсатору $C_1$, и посчитать его энергию.

Шаг 1 — читаем схему. Обозначим левый провод буквой $A$, правый — $B$, а вертикальную перемычку между серединами верхнего и нижнего рядов — $M$. Перемычка — это проводник, её концы имеют один потенциал, значит это одна точка. Путь заряда от $A$ к $B$ проходит две «ступеньки»: $A\to M$ и $M\to B$. Тогда $C_1$ (вверху) и $C_3$ (внизу) включены между одними и теми же точками $A$ и $M$ — они соединены параллельно. Так же $C_2$ и $C_4$ включены между $M$ и $B$ — тоже параллельно.

Шаг 2 — ёмкости групп. При параллельном соединении ёмкости складываются:

$$C_{AM}=C_1+C_3=2C+4C=6C,\qquad C_{MB}=C_2+C_4=C+2C=3C.$$

Шаг 3 — напряжение на всей батарее. Когда конденсаторы зарядились, тока через источник нет, и на внутреннем сопротивлении ничего не падает ($Ir=0$). Поэтому между $A$ и $B$ напряжение равно ЭДС: $U_{AB}=\mathcal{E}=100$ В. Именно поэтому величина $r$ в задаче и не дана — она не нужна.

Шаг 4 — как делится напряжение. Группы $AM$ и $MB$ соединены последовательно: на них одинаковый заряд $q$. Напряжение $U=\dfrac{q}{C}$, значит, на группе с большей ёмкостью напряжение меньше — напряжения делятся обратно пропорционально ёмкостям:

$$U_{AM}=\mathcal{E}\cdot\dfrac{C_{MB}}{C_{AM}+C_{MB}}=100\cdot\dfrac{3C}{6C+3C}=\dfrac{100}{3}\ \text{В}\approx33{,}3\ \text{В},\qquad U_{MB}=\dfrac{200}{3}\ \text{В}\approx66{,}7\ \text{В}.$$

Шаг 5 — энергия $C_1$. Конденсатор $C_1$ стоит параллельно $C_3$, поэтому напряжение на нём — это напряжение всей левой группы $U_{AM}$. Ёмкость $C_1=2C=2\cdot900=1800$ мкФ $=1{,}8\cdot10^{-3}$ Ф. Энергия заряженного конденсатора

$$W_1=\dfrac{C_1U_{AM}^2}{2}=\dfrac{2C}{2}\cdot\left(\dfrac{\mathcal{E}}{3}\right)^2=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{9}=\dfrac{9\cdot10^{-4}\cdot10^4}{9}=1\ \text{Дж}.$$

Проверим себя зарядами. Заряд левой группы: $q_1+q_3=6C\cdot\dfrac{100}{3}=200C$; заряд правой группы: $q_2+q_4=3C\cdot\dfrac{200}{3}=200C$ — одинаковые, как и положено у последовательных участков. Напряжения в сумме: $33{,}3+66{,}7=100$ В $=\mathcal{E}$. И ещё сравнение: у $C_2$ ёмкость вдвое меньше, зато напряжение вдвое больше, а энергия растёт с квадратом напряжения, так что $W_2=\dfrac{C\cdot(2\mathcal{E}/3)^2}{2}=2$ Дж — больше, чем у $C_1$.

Почему модель законна. Рассматриваем установившийся режим: конденсаторы заряжены, ток равен нулю, провода — эквипотенциальны, поэтому перемычку можно считать одной точкой, а напряжение на батарее конденсаторов — равным ЭДС.