Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00048122

Что здесь происходит. Пока ключ замкнут, источник гонит постоянный ток, и в цепи накапливается энергия в двух местах: в электрическом поле заряженного конденсатора и в магнитном поле катушки с током. После размыкания ключа источник отключается, и эти запасы «догорают» — превращаются в тепло. Нам сказали, сколько тепла выделилось на $R_2$, и по этому надо найти индуктивность.

Шаг 1 — ток до размыкания. По рисунку: источник, резистор $R_1$ и ключ образуют внешнюю ветвь, а между двумя узлами (верхним и нижним) параллельно стоят конденсатор и ветвь «$R_2$ + катушка». Когда всё установилось, через конденсатор постоянный ток не идёт, а катушка без сопротивления при неизменном токе ведёт себя как провод. Значит, ток течёт по одному кольцу: источник — $R_1$ — $R_2$ — катушка. По закону Ома для полной цепи

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1+R_2}=\dfrac{100}{5+10+15}=\dfrac{100}{30}\approx3{,}33\ \text{А}.$$

Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён к тем же узлам, что и ветвь «$R_2$ + катушка». На идеальной катушке при постоянном токе напряжения нет, поэтому всё напряжение этой ветви — на $R_2$:

$$U_C=IR_2=\dfrac{100}{30}\cdot15=50\ \text{В}.$$

Это не ЭДС: часть напряжения источника приходится на $r$ и $R_1$.

Шаг 3 — куда уходит энергия после размыкания. Ключ стоит в ветви с источником и $R_1$, поэтому после размыкания эта ветвь обрывается — на $r$ и $R_1$ больше ничего не выделяется. Остаётся замкнутый контур «конденсатор — катушка — $R_2$». В нём идут затухающие колебания, и единственное место, где энергия превращается в тепло, — резистор $R_2$. По закону сохранения энергии вся запасённая энергия выделится на нём:

$$W=\dfrac{CU_C^2}{2}+\dfrac{LI^2}{2}.$$

Шаг 4 — энергия конденсатора: $\dfrac{CU_C^2}{2}=\dfrac{50\cdot10^{-6}\cdot50^2}{2}=\dfrac{50\cdot10^{-6}\cdot2500}{2}=0{,}0625$ Дж $=62{,}5$ мДж. Она меньше $100$ мДж — значит, остаток действительно пришёл из катушки:

$$\dfrac{LI^2}{2}=W-\dfrac{CU_C^2}{2}=0{,}1-0{,}0625=0{,}0375\ \text{Дж}.$$

Шаг 5 — индуктивность:

$$L=\dfrac{2\left(W-\dfrac{CU_C^2}{2}\right)}{I^2}=\dfrac{2\cdot0{,}0375}{(10/3)^2}=\dfrac{0{,}075}{11{,}1}\approx6{,}75\cdot10^{-3}\ \text{Гн}=6{,}75\ \text{мГн}.$$

Проверим себя обратным счётом: энергия катушки $\dfrac{6{,}75\cdot10^{-3}\cdot(10/3)^2}{2}=\dfrac{6{,}75\cdot10^{-3}\cdot11{,}1}{2}\approx0{,}0375$ Дж, вместе с энергией конденсатора $0{,}0625$ Дж получаем $0{,}1$ Дж $=100$ мДж — как в условии.

Почему модель законна. До размыкания режим установившийся: ток постоянный, через конденсатор не идёт, на катушке без сопротивления нет напряжения. После размыкания контур «$C$ — $L$ — $R_2$» изолирован от источника, излучением пренебрегаем, поэтому по закону сохранения энергии вся энергия полей конденсатора и катушки переходит в теплоту на $R_2$.