Задание 26 ЕГЭ по физике №00046944

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Размеры тел малы по сравнению с размерами установки, поэтому будем описывать тела моделью материальной точки.

3. Шарики пластилиновые, поэтому удар неупругий: после удара они слипаются и движутся вместе. Будем считать, что время соударения мало, а внешние силы (тяжести и реакции стола) во много раз меньше внутренних сил взаимодействия шариков. Поэтому соударение будем описывать с помощью закона сохранения импульса.

4. После удара сопротивлением воздуха пренебрегаем. На шарики действует только сила тяжести, они находятся в свободном падении. По вертикали применимы уравнения кинематики равноускоренного движения, а по горизонтали скорость остаётся постоянной.

Дано:

$h = 1{,}25$ м

$m = 250$ г

$M = 200$ г

$L = 0{,}3$ м

СИ:

$m = 0{,}25$ кг

$M = 0{,}2$ кг

Найти:

$v$ — ?

Закон сохранения импульса имеет вид:

$\vec{p}_0 = \vec{p}_1$,

где $p_0$ — импульс налетающего шарика до столкновения, $p_1$ — импульс системы после столкновения.

Импульс тела равен:

$\vec{p} = m_т\vec{u}$,

где $m_т$ — масса тела, $\vec{u}$ — скорость тела.

Для нашей системы:

$M\vec{v} = (m + M)\vec{v}_1$,

где $v$ — скорость второго шарика до удара, $v_1$ — скорость слипшихся шариков после удара.

Ось $Ox$ направим горизонтально, по скорости второго шарика. Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:

$Mv = (m + M)v_1 \Rightarrow v_1 = \dfrac{Mv}{m + M}$.

Скорость $v_1$ направлена горизонтально, поэтому начальная вертикальная скорость шариков равна нулю. Ось $Oy$ направим вертикально вверх, начало отсчёта поместим на полу под краем стола. Найдём время падения из уравнения кинематики:

$y = y_0 + v_{0y}t + \dfrac{g_yt^2}{2}$,

где $v_{0y} = 0$ — начальная скорость по вертикальной оси, $y_0 = h$ — начальная координата, $g_y = -g$ — проекция ускорения на ось $Oy$.

В момент падения $y = 0$, поэтому:

$0 = h - \dfrac{g\tau^2}{2} \Rightarrow \tau = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$.

Горизонтальная составляющая скорости постоянна, поэтому дальность полёта равна:

$L = v_1\tau = \dfrac{Mv}{m + M}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$.

Отсюда скорость второго шарика $v$:

$v = \dfrac{L(m + M)}{M}\sqrt{\dfrac{g}{2h}} = \dfrac{0{,}3\ м \cdot (0{,}25\ кг + 0{,}2\ кг)}{0{,}2\ кг}\sqrt{\dfrac{10\ м/с^2}{2 \cdot 1{,}25\ м}} = 1{,}35$ м/с.

При этой скорости шарики падают ровно на расстоянии $L$. Чем больше скорость второго шарика, тем дальше точка приземления. Значит, шарики упадут дальше $L$, если $v > 1{,}35$ м/с.