Задание 26 ЕГЭ по физике №00046943

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Невесомый жёсткий стержень и тела $m_1$ и $m_2$ образуют твёрдое тело (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).

3. Изменение механической энергии твёрдого тела в ИСО равно работе внешних непотенциальных сил. На твёрдое тело «стержень + грузы $m_1$ и $m_2$» действуют внешние силы: сила $\vec{N}$ со стороны оси, на которой вращается стержень, и потенциальные силы тяжести $m_1\vec{g}$ и $m_2\vec{g}$. Сила $\vec{N}$ приложена в точке О, которая не движется, а трения в оси нет. Поэтому работа силы $\vec{N}$ равна нулю, и механическая энергия твёрдого тела «стержень + грузы $m_1$ и $m_2$» сохраняется.

4. Искомая сила $\vec{F}$ связана третьим законом Ньютона с силой $\vec{T}_1$, с которой стержень действует на груз $m_1$: $\vec{F} = -\vec{T}_1$, по модулю $F = T_1$.

5. Грузы по отдельности можно считать материальными точками и описывать их движение с помощью второго закона Ньютона.

Дано:

$m_1 = 2m$

$m_2 = m = 30$ г

$l_1 = \dfrac{2}{3}l$

СИ:

$m = 0{,}03$ кг

Найти:

$F$ — ?

Рассмотрим положение, когда груз $m_1$ находится внизу. Пусть грузы движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ соответственно. Расставим силы, действующие на тела.

Здесь $T_1$ и $T_2$ — силы, с которыми стержень действует на грузы. По третьему закону Ньютона груз $m_1$ действует на стержень с силой, по модулю равной $T_1$.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем горизонталь, проходящую через точку О. Когда грузы покоятся в горизонтальном положении, их полная механическая энергия равна нулю. В положении, изображённом на рисунке, тела обладают кинетическими и потенциальными энергиями, равными:

$E_{к1} = \dfrac{m_1v_1^2}{2}$, $E_{п1} = -m_1gl_1. \quad (1)$

$E_{к2} = \dfrac{m_2v_2^2}{2}$, $E_{п2} = m_2g(l - l_1). \quad (2)$

Запишем закон сохранения механической энергии:

$0 = E_{к1} + E_{п1} + E_{к2} + E_{п2}. \quad (3)$

Тела вращаются вокруг точки О с одинаковой угловой скоростью, поэтому:

$\omega = \dfrac{v_1}{l_1} = \dfrac{v_2}{l - l_1}$.

Отсюда:

$v_2 = v_1\dfrac{l - l_1}{l_1} = v_1\dfrac{l - \dfrac{2}{3}l}{\dfrac{2}{3}l} = \dfrac{v_1}{2}. \quad (4)$

Запишем (3) с учётом (1), (2), (4) и условий $l_1 = \dfrac{2}{3}l$, $m_1 = 2m$, $m_2 = m$:

$0 = \dfrac{2mv_1^2}{2} - 2mg \cdot \dfrac{2}{3}l + \dfrac{m \cdot v_1^2}{8} + mg \cdot \dfrac{l}{3}$.

Сократим на $m$:

$\dfrac{4}{3}gl - \dfrac{1}{3}gl = \dfrac{8v_1^2}{8} + \dfrac{v_1^2}{8} \Rightarrow v_1^2 = \dfrac{8gl}{9}. \quad (5)$

В вертикальном положении силы тяжести обоих грузов направлены вдоль стержня, и их моменты относительно точки О равны нулю. Поэтому угловое ускорение в этот момент равно нулю, и касательного ускорения у груза нет. Груз движется по окружности радиусом $l_1$, и его ускорение только центростремительное: оно направлено к центру О и равно:

$a_1 = \dfrac{v_1^2}{l_1}. \quad (6)$

Запишем второй закон Ньютона для первого груза:

$m_1\vec{a}_1 = m_1\vec{g} + \vec{T}_1$.

Ось $Oy$ направим вертикально вверх, к точке О. В проекции на ось $Oy$:

$T_1 - m_1g = m_1a_1$.

С учётом (5), (6) и условий $l_1 = \dfrac{2}{3}l$, $m_1 = 2m$:

$T_1 = 2m\left(g + \dfrac{8gl}{9 \cdot \dfrac{2}{3}l}\right) = 2m\left(g + \dfrac{4g}{3}\right) = \dfrac{14}{3}mg = \dfrac{14}{3} \cdot 0{,}03$ кг $\cdot 10$ Н/кг $= 1{,}4$ Н.

Искомая сила $F = T_1 = 1{,}4$ Н.