Задание 26 ЕГЭ по физике №00046939

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Шайба движется поступательно, поэтому её можно считать материальной точкой.

3. Шайба является материальной точкой, поэтому её движение в ИСО будем описывать с помощью второго закона Ньютона.

4. Внешние силы, действующие на систему «шайба + доска» (силы тяжести и сила реакции плоскости), направлены вертикально. Плоскость гладкая, трения о неё нет. Значит, по горизонтали внешние силы на систему не действуют, и выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

5. Силы, действующие на шайбу, постоянны, поэтому ускорение, с которым она движется, тоже постоянно. Для описания движения шайбы будем использовать формулы кинематики равноускоренного движения.

Дано:

$m = 0{,}5$ кг

$\mu = 0{,}3$

$v = 1{,}8$ м/с

$\tau = 0{,}5$ с

Найти:

$M$ — ?

Расставим силы, действующие на шайбу при движении по доске, и введём оси: ось $Ox$ направим горизонтально вправо, ось $Oy$ — вертикально вверх.

Шайба перестанет скользить по доске в тот момент, когда скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Запишем закон сохранения импульса:

$m\vec{v} = (m + M)\vec{u}$,

где $u$ — общая скорость шайбы и доски.

Спроецируем на ось $Ox$:

$mv = (m + M)u \Rightarrow u = \dfrac{mv}{M + m}. \quad (1)$

Запишем второй закон Ньютона для шайбы:

$\vec{F}{тр} + m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}$,

где $F{тр}$ — сила трения скольжения, $N$ — сила реакции доски, $a$ — ускорение шайбы.

Сила трения скольжения равна:

$F_{тр} = \mu N$.

Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось $Oy$:

$N - mg = 0 \Rightarrow N = mg$.

На горизонтальную ось $Ox$ (сила трения направлена против скорости шайбы):

$-F_{тр} = ma_x$.

Тогда:

$-\mu mg = ma_x \Rightarrow a_x = -\mu g. \quad (2)$

Движение шайбы по доске является равноускоренным, значит, её скорость в момент $\tau$:

$u = v + a_x\tau. \quad (3)$

Подставим (1) и (2) в (3):

$\dfrac{mv}{M + m} = v - \mu g\tau$.

Или:

$\dfrac{mv - Mv - mv}{M + m} = -\mu g\tau \Rightarrow \dfrac{Mv}{m + M} = \mu g\tau$.

Отсюда:

$Mv - M \cdot \mu g\tau = m \cdot \mu g\tau \Rightarrow M = m\dfrac{\mu g\tau}{v - \mu g\tau} = 0{,}5$ кг $\cdot \dfrac{0{,}3 \cdot 10\ м/с^2 \cdot 0{,}5\ с}{1{,}8\ м/с - 0{,}3 \cdot 10\ м/с^2 \cdot 0{,}5\ с} = 2{,}5$ кг.