Задание 26 ЕГЭ по физике №00046938

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в СО, связанной с Землёй, которую будем считать инерциальной (ИСО).

2. Размеры грузика и бруска малы по сравнению с размерами установки, поэтому будем описывать тела моделями материальных точек.

3. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.

4. До нижней точки брусок покоится, поэтому точка подвеса нити неподвижна и грузик движется по дуге окружности радиусом $L$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Единственной непотенциальной силой, действующей на грузик, является сила натяжения нити. Эта сила перпендикулярна вектору скорости в любой момент движения, а значит, её мощность и работа равны нулю. Поэтому полная механическая энергия грузика не изменяется, и применим закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень нижней точки грузика.

5. Грузик движется по окружности, поэтому он обладает центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.

6. Нить невесома и нерастяжима, а блок идеален, поэтому силы натяжения, действующие на грузик и брусок, равны по модулю: $T_1 = T_2 = T$.

Дано:

$h$

$L$

$\mu$

Найти:

$\dfrac{m}{M}$ — ?

В нижней точке грузик движется со скоростью $\vec{v}$ и обладает центростремительным ускорением $\vec{a}$, направленным по радиусу к центру окружности и равным $\dfrac{v^2}{L}$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела. Брусок в момент начала движения ещё покоится, а сила трения покоя достигает максимального значения:

$M\vec{a}_B = M\vec{g} + \vec{N} + \vec{T}1 + \vec{F}{тр}$, $\vec{a}_B = 0$.

Для грузика в нижней точке:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{T}_2$.

Для бруска ось $Ox$ направим горизонтально к блоку, ось $Oy$ вертикально вверх. Для грузика ось $Oy$ направим вертикально вверх, к точке подвеса. В проекциях:

$\begin{cases} N - Mg = 0, \ T - F_{тр} = 0, \ T - mg = m\dfrac{v^2}{L}. \end{cases}$

С учётом того, что сила трения равна $F_{тр} = \mu N$, из системы получим:

$\mu Mg = m\left(g + \dfrac{v^2}{L}\right)$.

Запишем закон сохранения механической энергии для грузика, поднятого на высоту $h$ и находящегося в нижней точке:

$mgh = \dfrac{mv^2}{2} \Rightarrow v^2 = 2gh$.

Подставим:

$m\left(g + \dfrac{2gh}{L}\right) = \mu Mg \Rightarrow \dfrac{m}{M} = \dfrac{\mu gL}{gL + 2gh} = \dfrac{\mu L}{L + 2h}$.

Натяжение нити максимально именно в нижней точке траектории. Если отношение масс будет больше найденного, брусок сдвинется раньше, чем грузик дойдёт до нижней точки. Поэтому нужно ровно это значение.