Задание 26 ЕГЭ по физике №00046937

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Груз и пластины будем считать материальными точками, так как их движение поступательное.

3. Описывать движение материальной точки в ИСО будем, используя второй закон Ньютона.

4. Груз сбрасывают резким ударом в горизонтальном направлении. Трения груза о пластину нет, поэтому сразу после удара верхняя пластина покоится. На систему тел действует сила нормальной реакции опоры со стороны стола. Она направлена вертикально вверх и не совершает работу, потому что перемещение нижнего тела равно нулю. Пока нижнее тело не оторвалось от поверхности стола, выполняется закон сохранения механической энергии для системы «пружина + верхняя пластина»: сила тяжести консервативна, сила упругости пружины потенциальна, сопротивления нет.

5. Деформации пружины малы и не превышают предела упругости, поэтому применяем закон Гука.

Дано:

$m = 400$ г

СИ:

$m = 0{,}4$ кг

Найти:

$M$ — ?

Примем длину недеформированной пружины за $L$. Когда на верхней пластине находится груз массой $M$, пружина сжата на $x_1$. Когда груз сталкивают, она распрямляется и растягивается на величину $x_2$.

Пока груз лежит на верхней пластине, груз вместе с верхней пластиной находится в равновесии. По второму закону Ньютона:

$(M + m)\vec{g} + \vec{F}_{упр} = 0$.

Ось $Oy$ направим вертикально вверх. В проекции на ось $Oy$, с учётом закона Гука $F_{упр} = kx_1$:

$kx_1 - (M + m)g = 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{(M + m)g}{k}$.

Если резко толкнуть верхний груз в горизонтальном направлении, пружина начнёт распрямляться и в верхнем положении растянется на $x_2$. Нижняя пластина оторвётся от поверхности стола, когда сила реакции опоры станет равной нулю. В этот момент на неё действуют сила упругости $F_{упр2} = kx_2$ и сила тяжести. По второму закону Ньютона для нижней пластины (она ещё покоится):

$m\vec{g} + \vec{F}_{упр2} + \vec{N} = 0$.

В проекции на ось $Oy$ при $N = 0$:

$kx_2 - mg = 0 \Rightarrow x_2 = \dfrac{mg}{k}$.

В нижнем положении (сразу после удара) и в верхнем положении верхняя пластина покоится. Закон сохранения механической энергии для системы «пружина + верхняя пластина» между этими положениями (высоты верхней пластины отсчитываем от поверхности стола):

$\dfrac{kx_1^2}{2} + mg(L - x_1) = \dfrac{kx_2^2}{2} + mg(L + x_2)$.

Подставим в это выражение формулы для $x_1$ и $x_2$:

$\dfrac{k\left(\dfrac{(M + m)g}{k}\right)^2}{2} + mg\left(L - \dfrac{(M + m)g}{k}\right) = \dfrac{k\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2}{2} + mg\left(L + \dfrac{mg}{k}\right)$.

Преобразуем:

$\dfrac{((M + m)g)^2}{2k} + mgL - \dfrac{mg(M + m)g}{k} = \dfrac{(mg)^2}{2k} + mgL + \dfrac{(mg)^2}{k}$.

Умножим на $2k$ и приведём подобные:

$((M + m)g)^2 - 2m(M + m)g^2 = 3(mg)^2$.

Разделим на $g^2$ и раскроем скобки:

$M^2 + 2mM + m^2 - 2mM - 2m^2 = 3m^2 \Rightarrow M^2 = 4m^2$.

Отсюда:

$M = 2m = 2 \cdot 0{,}4$ кг $= 0{,}8$ кг.

Это наименьшая масса груза. Если груз тяжелее, пружина сначала сжата сильнее и после удара растягивается больше, чем на $x_2$. Тогда сила упругости превысит $mg$, и нижняя пластина тем более оторвётся. Значит, $M \geqslant 2m = 0{,}8$ кг.