Задание 26 ЕГЭ по физике №00046936

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.

2. Шайба движется поступательно, её размеры малы по сравнению с размерами установки, поэтому описываем её моделью материальной точки.

3. На максимальной высоте подъёма скорости шайбы и бруска равны и направлены по горизонтали: вертикальная составляющая скорости шайбы в верхней точке равна нулю, относительного движения нет. После этого момента шайба начнёт скатываться обратно вниз относительно полусферы.

4. Поверхность полусферы гладкая, трения нет. Поэтому суммарная работа сил нормальной реакции, с которыми шайба и брусок действуют друг на друга, равна нулю (идеальная связь). Сила реакции стенки работы не совершает, потому что брусок прижат к стенке и не смещается. Сила реакции пола работы не совершает, потому что она перпендикулярна перемещению бруска. Сила тяжести консервативна. Значит, механическая энергия системы «шайба + брусок» сохраняется. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем нижнюю точку полусферы.

5. Пока шайба скользит от точки А до нижней точки, на систему по горизонтали действует сила со стороны стенки, и импульс системы не сохраняется. После прохождения нижней точки брусок отходит от стенки. Поверхность гладкая, поэтому внешние силы по горизонтали на систему не действуют, и выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Дано:

$M = 0{,}8$ кг

$R = 0{,}2$ м

$m = 0{,}2$ кг

Найти:

$h$ — ?

До нижней точки движения шайба «давит» на брусок с силой, направленной влево, к стенке, поэтому брусок не сдвигается с места. При этом брусок давит на стенку, а стенка давит на брусок. Пусть эта сила равна $F_д$.

На высоте $R$ шайба имеет потенциальную энергию:

$E_1 = mgR$.

При движении в нижней точке углубления со скоростью $v_0$ кинетическая энергия шайбы равна:

$E_2 = \dfrac{mv_0^2}{2}$.

Найдём скорость шайбы в нижней точке траектории из закона сохранения механической энергии при движении шайбы вниз (брусок неподвижен):

$E_1 = E_2 \Rightarrow mgR = \dfrac{mv_0^2}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{2gR}$.

После прохождения нижней точки траектории шайба начнёт давить на брусок, и он начнёт двигаться вправо. Максимальная высота будет достигнута тогда, когда скорости бруска и шайбы станут равны. Пусть эта скорость равна $u$. Воспользуемся законом сохранения импульса:

$m\vec{v}_0 = (M + m)\vec{u}$.

Ось $Ox$ направим горизонтально вправо. В проекции на ось $Ox$:

$mv_0 = (M + m)u \Rightarrow u = \dfrac{mv_0}{M + m}$.

Пусть максимальная высота подъёма равна $h$. Тогда потенциальная энергия шайбы на этой высоте равна:

$E_3 = mgh$.

Кинетическая энергия шайбы и бруска на этой высоте равна:

$E_4 = \dfrac{(m + M)u^2}{2}$.

Из закона сохранения механической энергии для движения шайбы вверх:

$E_2 = E_4 + E_3 \Rightarrow \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(M + m)u^2}{2} + mgh$.

С учётом ранее написанных выражений имеем:

$mgR = \dfrac{m^2gR}{M + m} + mgh \Rightarrow h = R - \dfrac{mR}{M + m} = 0{,}2 - \dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}2}{0{,}8 + 0{,}2} = 0{,}16$ м.