Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00043190

Что тут происходит. Маленькое положительно заряженное тело на нити крутится по окружности в вертикальной плоскости, а перпендикулярно этой плоскости направлено магнитное поле. Кроме тяжести и натяжения нити на тело действует сила Лоренца. Известна наименьшая скорость в нижней точке, при которой тело ещё проходит полный круг. Нужно найти заряд.

Модель. Тело маленькое — считаем его материальной точкой; нить нерастяжимая — тело движется по окружности радиуса $L$; систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Сопротивления воздуха нет.

Шаг 1 — направление силы Лоренца. По рисунку поле направлено на нас, в нижней точке скорость направлена вправо. По правилу левой руки (для положительного заряда) сила $qvB$ в нижней точке направлена вниз — от точки подвеса $O$. Тело движется против часовой стрелки, и при таком движении сила Лоренца в любой точке направлена по радиусу наружу, от центра. В верхней точке скорость направлена влево, а сила — вверх, тоже от центра.

Шаг 2 — скорость в верхней точке. Сила Лоренца перпендикулярна скорости и работы не совершает, натяжение нити тоже перпендикулярно скорости. Поэтому механическая энергия сохраняется: $$\frac{mv_{\text{н}}^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mg\cdot2L\quad\Rightarrow\quad v^2=v_{\text{н}}^2-4gL.$$

Шаг 3 — условие полного оборота. Нить натянута, пока $T\geqslant0$. Самое опасное место — верхняя точка: там скорость наименьшая, тяжесть целиком направлена к центру, а сила Лоренца — от центра. Наименьшей скорости $v_{\text{н}}$ соответствует $T=0$ в верхней точке. Второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру): $$mg-qvB=\frac{mv^2}{L}.$$

Шаг 4 — выражаем заряд: $$q=\frac{mg-\dfrac{mv^2}{L}}{vB}=\frac{m(gL-v^2)}{BLv}.$$ Подставляем $v^2=v_{\text{н}}^2-4gL$: $gL-v^2=5gL-v_{\text{н}}^2$, и $$q=\frac{m\left(5gL-v_{\text{н}}^2\right)}{BL\sqrt{v_{\text{н}}^2-4gL}}.$$

Проверим себя предельным случаем. Без магнитного поля наименьшая скорость в нижней точке равна $\sqrt{5gL}$ — при ней наша формула даёт $q=0$, всё согласовано. С полем сила Лоренца «помогает» тяжести не удерживать тело, и нужна скорость меньше $\sqrt{5gL}$ — тогда $q\gt0$, как и сказано в условии. И размерность: $\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{Тл}\cdot\text{м}\cdot\text{м/с}}=\dfrac{\text{кг}}{\text{Тл}\cdot\text{с}}=\text{Кл}$.