ID: 00026591
В однородном магнитном поле с индукцией $\overset{\to}{B}$, направленной вертикально вниз, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости против часовой стрелки положительно заряженный шарик, подвешенный на нити длиной l (конический маятник) (см. рисунок). Угол отклонения нити от вертикали равен α , скорость вращения шарика равна $\upsilon .$ Найдите отношение заряда шарика к его массе $\dfrac{q}{m}$ (удельный заряд). Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шарик.
Источник: ФИПИ
Конический маятник — это шарик на нити, который бегает по горизонтальной окружности, а нить при этом описывает конус. Обычно его удерживают на окружности только натяжение нити и сила тяжести. Здесь добавляется третий игрок: шарик заряжен и движется в магнитном поле, значит на него действует сила Лоренца. Она и позволяет связать удельный заряд с остальными величинами.
Шаг 1 — геометрия. Нить длиной $l$ отклонена от вертикали на угол $\alpha$, поэтому радиус окружности, по которой бегает шарик, равен $$r=l\sin\alpha.$$
Шаг 2 — куда смотрит сила Лоренца. Скорость шарика горизонтальна, вектор индукции направлен вертикально вниз, значит они перпендикулярны и модуль силы равен $F=q\upsilon B$. Направление найдём по правилу левой руки: для положительного заряда, который при взгляде сверху обходит окружность против часовой стрелки, в поле, направленном вниз, сила получается горизонтальной и направленной к оси вращения — то есть она добавляется к центростремительной.
Шаг 3 — второй закон Ньютона по вертикали. Шарик по вертикали не движется, поэтому вертикальная составляющая натяжения уравновешивает силу тяжести (сила Лоренца горизонтальна и сюда не входит): $$T\cos\alpha=mg\quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{\cos\alpha}.$$
Шаг 4 — второй закон Ньютона по горизонтали. К центру окружности направлены горизонтальная составляющая натяжения $T\sin\alpha$ и сила Лоренца $q\upsilon B$; вместе они создают центростремительное ускорение $\dfrac{\upsilon^{2}}{r}$: $$T\sin\alpha+q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{l\sin\alpha}.$$ Подставим натяжение из предыдущего шага, учитывая, что $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\mathrm{tg}\,\alpha$: $$mg\,\mathrm{tg}\,\alpha+q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{l\sin\alpha}.$$
Шаг 5 — выражаем удельный заряд. Переносим слагаемое с тяжестью направо и делим всё на $m\upsilon B$: $$q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{l\sin\alpha}-mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\quad\Rightarrow\quad\frac{q}{m}=\frac{1}{B}\left(\frac{\upsilon}{l\sin\alpha}-\frac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{\upsilon}\right).$$
Проверим смысл формулы. Если бы поля не было, шарик обязан был бы удовлетворять классическому условию конического маятника $\upsilon^{2}=gl\dfrac{\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}$, и скобка обратилась бы в ноль — то есть заряд не нужен. Если же шарик крутится быстрее, чем «положено» для данного угла, то избыток центростремительной силы и обеспечивает сила Лоренца, и удельный заряд получается положительным. Размерность тоже сходится: $\dfrac{\text{м/с}}{\text{Тл}\cdot\text{м}}$ даёт кулоны на килограмм.
Почему модель именно такая. Шарик считаем материальной точкой, движущейся равномерно по окружности радиуса $r=l\sin\alpha$, поэтому применим второй закон Ньютона: сумма проекций сил на вертикаль равна нулю, а сумма проекций на горизонтальное направление к центру равна $\dfrac{m\upsilon^{2}}{r}$ (принцип суперпозиции сил — натяжение, тяжесть и сила Лоренца действуют независимо). Модуль силы Лоренца берётся как $F=q\upsilon B\sin90^{\circ}=q\upsilon B$, потому что горизонтальная скорость перпендикулярна вертикальному вектору индукции. Работы сила Лоренца не совершает, что и позволяет движению оставаться равномерным по модулю скорости.