Задание ЕГЭ по физике: Из медной проволоки с удельным сопротивлением ро равно 1, 7…

Задача выглядит страшно, но у неё есть красивый короткий путь. Разберёмся сначала с конструкцией: прямоугольник KLMN из медной проволоки, плюс ещё кусок той же проволоки протянут по диагонали KM. Источник подключён к вершинам K и M. Магнитное поле лежит в плоскости контура и направлено вдоль вертикальных сторон KN и LM (на рисунке — стрелки вверх).

Шаг 1 — сколько путей у тока. От K до M ток может идти тремя способами, и все три включены параллельно: по нижней и правой сторонам (K\to L\to M), по левой и верхней (K\to N\to M) и напрямую по диагонали (K\to M).

Шаг 2 — длины путей. Первый и второй пути одинаковы: l_1+l_2=20+15=35 см =0{,}35 м. Диагональ находим по теореме Пифагора: \sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25 см =0{,}25 м.

Шаг 3 — сопротивления. Проволока одна и та же, поэтому сопротивление пропорционально длине: R=\rho\dfrac{L}{S}. Удобно посчитать «сопротивление метра»: \dfrac{\rho}{S}=\dfrac{1{,}7\cdot10^{-8}}{0{,}2\cdot10^{-6}}=0{,}085 Ом/м (не забудь: 0{,}2\ \text{мм}^2=0{,}2\cdot10^{-6}\ \text{м}^2). Тогда R_1=R_2=0{,}085\cdot0{,}35=0{,}029\,75 Ом, а R_3=0{,}085\cdot0{,}25=0{,}021\,25 Ом.

Шаг 4 — токи в ветвях. Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем, поэтому на каждой ветви напряжение равно \mathcal{E}=1{,}4 В: I_1=I_2=\dfrac{1{,}4}{0{,}029\,75}\approx47{,}06 А, I_3=\dfrac{1{,}4}{0{,}021\,25}\approx65{,}88 А. Полный ток из источника: I=47{,}06+47{,}06+65{,}88=160 А.

Шаг 5 — главный трюк. Не надо считать силу на каждом из пяти отрезков и складывать векторы. Для однородного поля сила, действующая на любой изогнутый провод с током, равна силе, которая действовала бы на ПРЯМОЙ отрезок, соединяющий начало и конец провода: \vec F=I\vec L\times\vec B, где \vec L — вектор «из начала в конец». Все три наши ветви начинаются в K и заканчиваются в M, значит для каждой из них замещающий отрезок — это одна и та же диагональ KM.

Шаг 6 — складываем. Раз замещающий отрезок у всех ветвей общий, силы просто складываются по токам: F=\left(I_1+I_2+I_3\right)\cdot B\cdot d_{\perp}, где d_{\perp} — та часть отрезка KM, которая перпендикулярна полю. Поле направлено вдоль вертикальных сторон, поэтому перпендикулярная ему часть диагонали — это её горизонтальная проекция, то есть просто сторона KL=l_1=0{,}20 м. (Диагональ 25 см в формулу НЕ входит: её вертикальная часть полю параллельна и силы не даёт.)

Шаг 7 — считаем. F=160\cdot0{,}1\cdot0{,}20=3{,}2 Н. Сила направлена перпендикулярно плоскости контура, то есть «от нас» или «на нас» — в зависимости от того, в какую сторону подключён источник.

Сведём всё в одну формулу, чтобы было видно, как красиво сокращается: F=\mathcal{E}B l_1\dfrac{S}{\rho}\left(\dfrac{2}{l_1+l_2}+\dfrac{1}{\sqrt{l_1^2+l_2^2}}\right). Именно поэтому полный ток и вышел ровно 160 А — числа подобраны специально.

Рисунок к решению: изобрази контур с диагональю, покажи стрелками направления токов во всех трёх ветвях и подпиши, что на каждый участок, не параллельный \vec B, действует сила Ампера, перпендикулярная плоскости чертежа; результирующую силу нарисуй одной стрелкой «на нас» (или «от нас») с подписью F=3{,}2 Н.

Обоснование модели. Работают: формула сопротивления однородного проводника R=\rho\dfrac{L}{S}; правила расчёта параллельного соединения (на всех ветвях одно напряжение, токи складываются) и закон Ома для участка цепи I=\dfrac{U}{R} — приложенное напряжение равно ЭДС, потому что внутренним сопротивлением источника условие велит пренебречь; закон Ампера в векторной форме \vec F=I\vec L\times\vec B и его следствие для однородного поля: результирующая сила зависит только от вектора, соединяющего концы проводника, а не от его формы. Последнее утверждение и есть тот приём, который превращает громоздкую задачу в двухстрочный расчёт; применять его законно именно потому, что поле однородно.