На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата AС DЕ со стороной a (см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции стремится к B которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю В . По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнет поворачиваться вокруг стороны CD ?

I индекс min равно дробь: числитель: mg, знаменатель: 2aB конец дроби

Задание ЕГЭ по физике: На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая…

№2. Задание без номера

ID: 00026606

На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата AС DЕ со стороной a (см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции $\overset{\to}{B}$ которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю В . По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнет поворачиваться вокруг стороны CD ?

Источник: ФИПИ

Решение

Представь вид сверху: на столе лежит квадратная рамка $ACDE$ со стороной $a$ , сделанная из однородной проволоки, её общая масса $m$ . Стол непроводящий, магнитное поле горизонтальное и на рисунке показано стрелками вправо — оно лежит в плоскости стола и перпендикулярно сторонам $AE$ и $CD$ . По рамке пустили ток. Вопрос: при каком токе рамка начнёт «вставать на дыбы», поворачиваясь вокруг стороны $CD$ .

Шаг 1 — на какие стороны действует сила Ампера. Сила Ампера равна $F=BIl\sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол между током и полем. Стороны $AC$ и $ED$ идут вдоль поля, для них $\sin\varphi=0$ — эти стороны магнитное поле вообще не тянет. А вот стороны $AE$ и $CD$ перпендикулярны полю, для них $\sin\varphi=1$ и сила равна $F=BIa$ .

Шаг 2 — куда эти силы направлены. Обе стороны лежат в плоскости стола, поле тоже лежит в плоскости стола, значит сила Ампера (она перпендикулярна и току, и полю) направлена вертикально — вверх или вниз. Токи в сторонах $AE$ и $CD$ текут навстречу друг другу (по рамке ток идёт по кругу), поэтому и силы противоположны: одну сторону поле поднимает, другую прижимает к столу. По стрелкам на рисунке поднимается именно сторона $AE$ , а $CD$ прижимается — потому рамка и опрокидывается через $CD$ .

Шаг 3 — почему это поворот, а не подъём. Пока рамка лежит, поворот возможен только вокруг той стороны, которая прижата, — это $CD$ . Начало поворота значит, что момент сил, поднимающих рамку, сравнялся с моментом сил, удерживающих её на столе. Момент силы относительно оси — это произведение силы на плечо, то есть на расстояние от оси до линии действия силы.

Шаг 4 — считаем моменты относительно оси $CD$ .

Сила Ампера на стороне $AE$ : модуль $BIa$ , плечо равно ширине рамки $a$ . Момент: $M_A=BIa\cdot a=BIa^2$ . Он «переворачивающий».
Сила Ампера на стороне $CD$ : она приложена прямо к оси вращения, её плечо равно нулю, момент нулевой.
Сила тяжести $mg$ : рамка однородная, её центр масс — в центре квадрата, то есть на расстоянии $\dfrac{a}{2}$ от стороны $CD$ . Момент: $M_{тяж}=mg\dfrac{a}{2}$ . Он «удерживающий».
Силы реакции стола при начале поворота сосредоточены на самой оси $CD$ , поэтому их момент тоже равен нулю.

Шаг 5 — условие начала поворота. Рамка начнёт подниматься, когда переворачивающий момент сравняется с удерживающим: $BIa^2=mg\dfrac{a}{2}$ .

Шаг 6 — выражаем ток. Сокращаем на $a$ (сторона не равна нулю): $BIa=\dfrac{mg}{2}$ , откуда $I_{min}=\dfrac{mg}{2aB}$ .

Проверим формулу на разумность: чем тяжелее рамка, тем больший ток нужен — логично; чем сильнее поле и чем больше сторона (то есть длиннее плечо), тем меньше требуемый ток — тоже логично. И двойка в знаменателе появилась именно из-за того, что центр тяжести стоит вдвое ближе к оси, чем «поднимающая» сторона.

Обоснование модели. Работают: закон Ампера $F=BIl\sin\varphi$ для прямого участка проводника в однородном поле; правило нахождения направления силы Ампера (левой руки), из которого следует, что силы на противоположных сторонах рамки направлены вертикально в разные стороны; условие равновесия твёрдого тела в форме равенства моментов относительно оси $CD$ — именно моментов, а не сил, потому что тело может не только смещаться, но и поворачиваться; понятие центра масс, который у однородной квадратной рамки находится в её геометрическом центре. Условие «минимальная сила тока» соответствует пограничному случаю, когда рамка ещё лежит, но давление на стол вдоль всей стороны $AE$ уже обратилось в ноль.

Ответ

I_{min}=\dfrac{mg}{2aB}