ID: 00026612
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $ℰ=6$ В, r = 2 Ом, L = 1 мГн. В момент t = 0 ключ К размыкают. В момент, когда в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника, сила тока в контуре I = 2,4 А. Найдите ёмкость конденсатора С . Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.
Источник: ФИПИ
Схема на рисунке короткая: источник с ключом К, катушка $L$ и конденсатор $C$ — все три ветви подключены к одной паре узлов, то есть соединены параллельно. Пока ключ замкнут, источник «раскачивает» ток в катушке; как только ключ размыкают, источник исчезает из картины, и остаётся чистая пара «катушка + конденсатор» — идеальный колебательный контур.
Шаг 1 — что было при замкнутом ключе. Ключ замкнут давно, всё установилось: ток постоянный. Идеальная катушка при постоянном токе не создаёт никакого напряжения (её активным сопротивлением условие велит пренебречь, а ЭДС самоиндукции $-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ равна нулю, когда ток не меняется). Значит, катушка работает как обычная перемычка и замыкает источник накоротко.
Шаг 2 — начальный ток. Всё сопротивление цепи — это только внутреннее сопротивление источника: $I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}=\dfrac{6}{2}=3$ А.
Шаг 3 — а что с конденсатором? Он подключён параллельно катушке, а на катушке напряжения нет. Значит, и на конденсаторе напряжение нулевое: до размыкания ключа он не заряжен и энергии не запасает. Вся энергия сидит в магнитном поле катушки: $W_0=\dfrac{LI_0^2}{2}$.
Шаг 4 — начинаются колебания. После размыкания ключа катушка не может мгновенно оборвать ток (он поддерживается самоиндукцией) и начинает перегонять его в конденсатор — тот заряжается. Потом конденсатор разряжается обратно, и так далее: в контуре идут свободные электромагнитные колебания. Сопротивления в контуре нет, поэтому полная энергия сохраняется.
Шаг 5 — закон сохранения энергии для контура. В любой момент $\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{CU^2}{2}$, где $I$ — мгновенный ток, $U$ — мгновенное напряжение на конденсаторе.
Шаг 6 — подставляем указанный момент. По условию в этот момент $U=\mathcal{E}=6$ В, а $I=2{,}4$ А. Выразим ёмкость: $CU^2=L\left(I_0^2-I^2\right)$, значит $C=\dfrac{L\left(I_0^2-I^2\right)}{U^2}$.
Шаг 7 — считаем. $I_0^2=3^2=9$, $I^2=2{,}4^2=5{,}76$, разность $9-5{,}76=3{,}24\ \text{А}^2$. Дальше: $C=\dfrac{10^{-3}\cdot3{,}24}{6^2}=\dfrac{3{,}24\cdot10^{-3}}{36}=9\cdot10^{-5}$ Ф, то есть $90$ мкФ.
Проверим по энергиям: полная энергия $W_0=\dfrac{10^{-3}\cdot9}{2}=4{,}5\cdot10^{-3}$ Дж. В указанный момент в катушке $\dfrac{10^{-3}\cdot5{,}76}{2}=2{,}88\cdot10^{-3}$ Дж, в конденсаторе $\dfrac{9\cdot10^{-5}\cdot36}{2}=1{,}62\cdot10^{-3}$ Дж. Сумма: $2{,}88+1{,}62=4{,}5$ мДж — ровно столько, сколько было. Сходится.
Обоснование модели. Применяются: закон Ома для полной цепи в момент до размыкания, сведённый к $I_0=\mathcal{E}/r$ (катушка идеальная и закорачивает источник, а конденсатор постоянный ток не пропускает); утверждение о непрерывности тока через катушку — именно поэтому сразу после размыкания ток в контуре равен прежнему $I_0$; закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре $\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{CU^2}{2}=\text{const}$, справедливый потому, что активное сопротивление контура нулевое и тепло не выделяется; формулы энергии магнитного поля катушки $\dfrac{LI^2}{2}$ и энергии заряженного конденсатора $\dfrac{CU^2}{2}$. Совпадение $U=\mathcal{E}$ в условии — просто удобный способ задать число $6$ В, никакой связи с источником в этот момент уже нет: он отключён.