Задание ЕГЭ по физике: В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное…

Схема на рисунке короткая: источник с ключом К, катушка L и конденсатор C — все три ветви подключены к одной паре узлов, то есть соединены параллельно. Пока ключ замкнут, источник «раскачивает» ток в катушке; как только ключ размыкают, источник исчезает из картины, и остаётся чистая пара «катушка + конденсатор» — идеальный колебательный контур.

Шаг 1 — что было при замкнутом ключе. Ключ замкнут давно, всё установилось: ток постоянный. Идеальная катушка при постоянном токе не создаёт никакого напряжения (её активным сопротивлением условие велит пренебречь, а ЭДС самоиндукции -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t} равна нулю, когда ток не меняется). Значит, катушка работает как обычная перемычка и замыкает источник накоротко.

Шаг 2 — начальный ток. Всё сопротивление цепи — это только внутреннее сопротивление источника: I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{r}=\dfrac{6}{2}=3 А.

Шаг 3 — а что с конденсатором? Он подключён параллельно катушке, а на катушке напряжения нет. Значит, и на конденсаторе напряжение нулевое: до размыкания ключа он не заряжен и энергии не запасает. Вся энергия сидит в магнитном поле катушки: W_0=\dfrac{LI_0^2}{2}.

Шаг 4 — начинаются колебания. После размыкания ключа катушка не может мгновенно оборвать ток (он поддерживается самоиндукцией) и начинает перегонять его в конденсатор — тот заряжается. Потом конденсатор разряжается обратно, и так далее: в контуре идут свободные электромагнитные колебания. Сопротивления в контуре нет, поэтому полная энергия сохраняется.

Шаг 5 — закон сохранения энергии для контура. В любой момент \dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{CU^2}{2}, где I — мгновенный ток, U — мгновенное напряжение на конденсаторе.

Шаг 6 — подставляем указанный момент. По условию в этот момент U=\mathcal{E}=6 В, а I=2{,}4 А. Выразим ёмкость: CU^2=L\left(I_0^2-I^2\right), значит C=\dfrac{L\left(I_0^2-I^2\right)}{U^2}.

Шаг 7 — считаем. I_0^2=3^2=9, I^2=2{,}4^2=5{,}76, разность 9-5{,}76=3{,}24\ \text{А}^2. Дальше: C=\dfrac{10^{-3}\cdot3{,}24}{6^2}=\dfrac{3{,}24\cdot10^{-3}}{36}=9\cdot10^{-5} Ф, то есть 90 мкФ.

Проверим по энергиям: полная энергия W_0=\dfrac{10^{-3}\cdot9}{2}=4{,}5\cdot10^{-3} Дж. В указанный момент в катушке \dfrac{10^{-3}\cdot5{,}76}{2}=2{,}88\cdot10^{-3} Дж, в конденсаторе \dfrac{9\cdot10^{-5}\cdot36}{2}=1{,}62\cdot10^{-3} Дж. Сумма: 2{,}88+1{,}62=4{,}5 мДж — ровно столько, сколько было. Сходится.

Обоснование модели. Применяются: закон Ома для полной цепи в момент до размыкания, сведённый к I_0=\mathcal{E}/r (катушка идеальная и закорачивает источник, а конденсатор постоянный ток не пропускает); утверждение о непрерывности тока через катушку — именно поэтому сразу после размыкания ток в контуре равен прежнему I_0; закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре \dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{CU^2}{2}=\text{const}, справедливый потому, что активное сопротивление контура нулевое и тепло не выделяется; формулы энергии магнитного поля катушки \dfrac{LI^2}{2} и энергии заряженного конденсатора \dfrac{CU^2}{2}. Совпадение U=\mathcal{E} в условии — просто удобный способ задать число 6 В, никакой связи с источником в этот момент уже нет: он отключён.