ID: 00026592
Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов D j = 191 В, влетает в область однородного магнитного поля шириной h = 2 см . Скорость протона перпендикулярна линиям индукции магнитного поля и плоской границе области (см. рисунок). При каком минимальном значении модуля индукции В _{min} протон не пролетит эту область насквозь? Силой тяжести, действующей на протон, пренебречь; считать, что до ускорения в электрическом поле скорость протона была равна нулю.
Источник: ФИПИ
Сюжет двухактный. Сначала протон разгоняется электрическим полем: работа поля превращается в кинетическую энергию. Потом он влетает в полосу магнитного поля шириной h и там закручивается по дуге окружности. Если дуга «мелкая», протон развернётся и вылетит обратно через ту же границу; если радиус слишком велик — проскочит полосу насквозь. Граница между этими случаями и даёт минимальную индукцию.
Шаг 1 — какую скорость набрал протон. Работа электрического поля при прохождении разности потенциалов \Delta\varphi равна e\Delta\varphi, и вся она идёт в кинетическую энергию (начальная скорость нулевая): e\Delta\varphi=\frac{m_{p}\upsilon^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad\upsilon=\sqrt{\frac{2e\Delta\varphi}{m_{p}}}. Посчитаем: \upsilon=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot191}{1{,}67\cdot10^{-27}}}=\sqrt{3{,}66\cdot10^{10}}\approx1{,}9\cdot10^{5} м/с.
Шаг 2 — что делает магнитное поле. Скорость перпендикулярна вектору индукции, поэтому сила Лоренца F=e\upsilon B перпендикулярна скорости и работы не совершает: протон движется по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью. Радиус находим из второго закона Ньютона: e\upsilon B=\frac{m_{p}\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{m_{p}\upsilon}{eB}.
Шаг 3 — как глубоко протон заходит в полосу. Протон влетает перпендикулярно границе, а сила Лоренца в первый момент направлена вдоль границы. Значит, центр окружности лежит прямо на границе области, на расстоянии R от точки входа. Тогда самая дальняя точка дуги отстоит от границы ровно на радиус: максимальная глубина проникновения равна R.
Шаг 4 — условие «не пролетит насквозь». Протон не выйдет через дальнюю границу, если глубина проникновения не превышает ширину полосы: R\le h. Минимальному полю отвечает граничный случай R=h: \frac{m_{p}\upsilon}{eB_{\min}}=h\quad\Rightarrow\quad B_{\min}=\frac{m_{p}\upsilon}{eh}.
Шаг 5 — собираем и считаем. Подставим скорость: B_{\min}=\frac{m_{p}}{eh}\sqrt{\frac{2e\Delta\varphi}{m_{p}}}=\frac{1}{h}\sqrt{\frac{2m_{p}\Delta\varphi}{e}}. Числами: B_{\min}=\frac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}9\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}02}=\frac{3{,}19\cdot10^{-22}}{3{,}2\cdot10^{-21}}\approx0{,}1\ \text{Тл}.
Проверим правдоподобие: радиус при таком поле равен 2 см, скорость протона около 190 км/с — это примерно 0{,}06\% скорости света, так что релятивистские поправки не нужны и школьные формулы законны. Само поле в 0{,}1 Тл — обычный лабораторный электромагнит.
Почему модель именно такая. В первой части работает связь работы электростатического поля с изменением кинетической энергии: e\Delta\varphi=\dfrac{m_{p}\upsilon^{2}}{2} — это теорема о кинетической энергии для потенциального поля, а начальная скорость по условию равна нулю. Во второй части — сила Лоренца F=e\upsilon B\sin90^{\circ} и второй закон Ньютона для движения по окружности; поскольку сила перпендикулярна скорости, модуль скорости и радиус остаются постоянными. Геометрическое утверждение о том, что глубина проникновения равна радиусу, следует из перпендикулярности начальной скорости границе: центр окружности оказывается на самой границе области.