ID: 00026571
В колебательном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, происходят свободные электромагнитные колебания с периодом T=50,24 мкс и максимальным напряжением на конденсаторе U_{\max}. Зависимость энергии электрического поля конденсатора от разности потенциалов между его обкладками в пределах от 0 до U_{\max} приведена на графике. Определите максимальное значение силы тока в контуре.
Источник: ФИПИ
График здесь — это способ выдать нам два числа сразу. По оси абсцисс отложено напряжение на конденсаторе, по оси ординат — энергия его электрического поля. Кривая обрывается в самой правой точке: это и есть момент, когда напряжение максимально, а вся энергия контура сидит в конденсаторе. Дальше дело техники: найти ёмкость, из периода вытащить индуктивность и по закону сохранения энергии перейти к максимальному току.
Шаг 1 — снимаем точку с графика. Сетка по горизонтали: от 0 до 200 В десять клеток, то есть одна клетка =20 В. По вертикали: от 0 до 1{,}0 мДж десять клеток, клетка =0{,}1 мДж. Крайняя точка кривой стоит на пересечении правой вертикальной линии и второй горизонтальной сверху: U_{\max}=200\ \text{В},\qquad W=0{,}8\ \text{мДж}=8\cdot10^{-4}\ \text{Дж}. Проверка на согласованность: при U=100 В (середина) кривая стоит на высоте примерно 0{,}2 мДж — вчетверо ниже, как и положено параболе W\sim U^{2}.
Шаг 2 — ёмкость конденсатора. Из W=\dfrac{CU_{\max}^{2}}{2}: C=\frac{2W}{U_{\max}^{2}}=\frac{2\cdot8\cdot10^{-4}}{200^{2}}=\frac{1{,}6\cdot10^{-3}}{4\cdot10^{4}}=4\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.
Шаг 3 — индуктивность катушки. Активного сопротивления нет, колебания свободные, поэтому работает формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}, откуда L=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}C}=\frac{\left(5{,}024\cdot10^{-5}\right)^{2}}{4\pi^{2}\cdot4\cdot10^{-8}}=\frac{2{,}524\cdot10^{-9}}{1{,}579\cdot10^{-6}}\approx1{,}6\cdot10^{-3}\ \text{Гн}. (Число 50{,}24 мкс подобрано не случайно: \dfrac{T}{2\pi}=8\cdot10^{-6} с ровно.)
Шаг 4 — закон сохранения энергии. В момент, когда ток максимален, конденсатор разряжен и вся энергия контура — в магнитном поле катушки. Значит, максимальная энергия катушки равна максимальной энергии конденсатора: \frac{LI_{\max}^{2}}{2}=W\quad\Rightarrow\quad I_{\max}=\sqrt{\frac{2W}{L}}=\sqrt{\frac{1{,}6\cdot10^{-3}}{1{,}6\cdot10^{-3}}}=1\ \text{А}.
Можно проверить и в обход: максимальный заряд q_{\max}=CU_{\max}=4\cdot10^{-8}\cdot200=8\cdot10^{-6} Кл, а при гармонических колебаниях I_{\max}=q_{\max}\dfrac{2\pi}{T}=8\cdot10^{-6}\cdot\dfrac{6{,}28}{5{,}024\cdot10^{-5}}\approx1 А. Сходится.
Почему модель именно такая. Активное сопротивление контура равно нулю, значит колебания незатухающие и гармонические — только при этом законны и формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}, и закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре: энергия целиком перетекает между конденсатором и катушкой, поэтому максимум одной равен максимуму другой. График даёт зависимость W=\dfrac{CU^{2}}{2} — это формула энергии заряженного конденсатора, и именно её парабола нарисована; крайняя точка кривой соответствует U_{\max}, потому что по условию график построен в пределах от 0 до U_{\max}.