ID: 00026565
Индуктивность катушки колебательного контура радиоприёмника L=2 мкГн, максимальный ток в ней I_{\max}=2 мА. В контуре используется плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d=2 мм. Максимальная напряжённость электрического поля конденсатора E_{\max}=2,5 В/м. На какую длину волны настроен контур?
Источник: ФИПИ
«Настроен на длину волны» означает, что собственный период колебаний контура совпадает с периодом принимаемой электромагнитной волны. Значит, план такой: по данным про конденсатор и катушку найти период свободных колебаний, а затем перевести его в длину волны через скорость света.
Шаг 1 — от напряжённости к напряжению. Конденсатор плоский, поле между его пластинами однородно, поэтому напряжение и напряжённость связаны просто: U=Ed. Для максимальных значений: U_{\max}=E_{\max}d=2{,}5\cdot2\cdot10^{-3}=5\cdot10^{-3}\ \text{В}.
Шаг 2 — находим ёмкость. Контур идеальный, поэтому энергия только перетекает между конденсатором и катушкой, и максимумы энергий равны: \frac{CU_{\max}^{2}}{2}=\frac{LI_{\max}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{LI_{\max}^{2}}{U_{\max}^{2}}. Считаем: C=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot\left(2\cdot10^{-3}\right)^{2}}{\left(5\cdot10^{-3}\right)^{2}}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{-6}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=\frac{8\cdot10^{-12}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=3{,}2\cdot10^{-7}\ \text{Ф}.
Шаг 3 — период колебаний. По формуле Томсона: T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2\cdot10^{-6}\cdot3{,}2\cdot10^{-7}}=2\pi\sqrt{6{,}4\cdot10^{-13}}=2\pi\cdot8\cdot10^{-7}\approx5{,}03\cdot10^{-6}\ \text{с}.
Шаг 4 — длина волны. Электромагнитная волна за один период проходит расстояние, равное длине волны: \lambda=cT=3\cdot10^{8}\cdot5{,}03\cdot10^{-6}\approx1{,}5\cdot10^{3}\ \text{м}.
Шаг 5 — то же самое одной формулой. Если подставить C в формулу Томсона, корни красиво сворачиваются: \sqrt{LC}=\sqrt{L\cdot\dfrac{LI_{\max}^{2}}{U_{\max}^{2}}}=\dfrac{LI_{\max}}{U_{\max}}, поэтому \lambda=2\pi c\,\frac{LI_{\max}}{E_{\max}d}=2\pi\cdot3\cdot10^{8}\cdot\frac{2\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-3}}{5\cdot10^{-3}}=2\pi\cdot240\approx1508\ \text{м}.
Стоит проверить правдоподобие: полторы тысячи метров — это длинноволновый радиодиапазон, как раз то, на что настраивают простой радиоприёмник. Частота при этом \nu=\dfrac{c}{\lambda}\approx200 кГц — тоже вполне «радийное» число.
Почему модель именно такая. Контур считается идеальным (активного сопротивления нет), поэтому колебания незатухающие и справедлив закон сохранения энергии в виде равенства максимальных энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Колебания гармонические, значит применима формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}. Связь U=Ed верна именно для плоского конденсатора, где поле между пластинами однородно. Наконец, соотношение \lambda=cT — это определение длины волны для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме (в воздухе — практически с той же скоростью c), а настройка приёмника означает совпадение периода волны с собственным периодом контура.