ID: 00026565
Индуктивность катушки колебательного контура радиоприёмника $L=2$ мкГн, максимальный ток в ней $I_{\max}=2$ мА. В контуре используется плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого $d=2$ мм. Максимальная напряжённость электрического поля конденсатора $E_{\max}=2,5$ В/м. На какую длину волны настроен контур?
Источник: ФИПИ
«Настроен на длину волны» означает, что собственный период колебаний контура совпадает с периодом принимаемой электромагнитной волны. Значит, план такой: по данным про конденсатор и катушку найти период свободных колебаний, а затем перевести его в длину волны через скорость света.
Шаг 1 — от напряжённости к напряжению. Конденсатор плоский, поле между его пластинами однородно, поэтому напряжение и напряжённость связаны просто: $U=Ed$. Для максимальных значений: $$U_{\max}=E_{\max}d=2{,}5\cdot2\cdot10^{-3}=5\cdot10^{-3}\ \text{В}.$$
Шаг 2 — находим ёмкость. Контур идеальный, поэтому энергия только перетекает между конденсатором и катушкой, и максимумы энергий равны: $$\frac{CU_{\max}^{2}}{2}=\frac{LI_{\max}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{LI_{\max}^{2}}{U_{\max}^{2}}.$$ Считаем: $$C=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot\left(2\cdot10^{-3}\right)^{2}}{\left(5\cdot10^{-3}\right)^{2}}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^{-6}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=\frac{8\cdot10^{-12}}{2{,}5\cdot10^{-5}}=3{,}2\cdot10^{-7}\ \text{Ф}.$$
Шаг 3 — период колебаний. По формуле Томсона: $$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{2\cdot10^{-6}\cdot3{,}2\cdot10^{-7}}=2\pi\sqrt{6{,}4\cdot10^{-13}}=2\pi\cdot8\cdot10^{-7}\approx5{,}03\cdot10^{-6}\ \text{с}.$$
Шаг 4 — длина волны. Электромагнитная волна за один период проходит расстояние, равное длине волны: $$\lambda=cT=3\cdot10^{8}\cdot5{,}03\cdot10^{-6}\approx1{,}5\cdot10^{3}\ \text{м}.$$
Шаг 5 — то же самое одной формулой. Если подставить $C$ в формулу Томсона, корни красиво сворачиваются: $\sqrt{LC}=\sqrt{L\cdot\dfrac{LI_{\max}^{2}}{U_{\max}^{2}}}=\dfrac{LI_{\max}}{U_{\max}}$, поэтому $$\lambda=2\pi c\,\frac{LI_{\max}}{E_{\max}d}=2\pi\cdot3\cdot10^{8}\cdot\frac{2\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-3}}{5\cdot10^{-3}}=2\pi\cdot240\approx1508\ \text{м}.$$
Стоит проверить правдоподобие: полторы тысячи метров — это длинноволновый радиодиапазон, как раз то, на что настраивают простой радиоприёмник. Частота при этом $\nu=\dfrac{c}{\lambda}\approx200$ кГц — тоже вполне «радийное» число.
Почему модель именно такая. Контур считается идеальным (активного сопротивления нет), поэтому колебания незатухающие и справедлив закон сохранения энергии в виде равенства максимальных энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Колебания гармонические, значит применима формула Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$. Связь $U=Ed$ верна именно для плоского конденсатора, где поле между пластинами однородно. Наконец, соотношение $\lambda=cT$ — это определение длины волны для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме (в воздухе — практически с той же скоростью $c$), а настройка приёмника означает совпадение периода волны с собственным периодом контура.