ID: 00026579
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $ℰ=3$ В, r = 2 Ом, L = 1 мГн, С = 50 мкФ.
В момент t = 0 ключ К размыкают. Каково напряжение U на конденсаторе в момент, когда в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний сила тока в контуре I = 1 А? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.
Источник: ФИПИ
Пока ключ замкнут, катушка ведёт себя коварно: сопротивления у неё нет, и она попросту закорачивает конденсатор. Поэтому напряжение на конденсаторе равно нулю, а через катушку идёт приличный ток. Разомкнём ключ — источник отключается, и остаётся идеальный колебательный контур из катушки и конденсатора, в котором начинают перекачиваться энергии. Нужный момент — когда ток упал до $I=1$ А; на конденсаторе к этому времени уже накопилось напряжение.
Шаг 1 — начальный ток. При замкнутом ключе и установившемся токе ЭДС самоиндукции равна нулю, катушка — просто провод. Напряжение на параллельной паре «катушка — конденсатор» равно нулю, значит вся ЭДС падает на внутреннем сопротивлении: $$I_{0}=\frac{\mathcal{E}}{r}=\frac{3}{2}=1{,}5\ \text{А}.$$
Шаг 2 — начальное напряжение на конденсаторе. Он подключён параллельно катушке, на которой падения нет, поэтому $U_{0}=0$: перед размыканием конденсатор совсем не заряжен, и вся энергия сидит в магнитном поле катушки.
Шаг 3 — полная энергия контура. $$W=\frac{LI_{0}^{2}}{2}=\frac{10^{-3}\cdot1{,}5^{2}}{2}=\frac{10^{-3}\cdot2{,}25}{2}=1{,}125\cdot10^{-3}\ \text{Дж}.$$ Сопротивления в оставшемся контуре нет (провода и катушка идеальные), значит эта величина сохраняется.
Шаг 4 — распределение энергии в нужный момент. Когда ток стал равен $I=1$ А, в катушке осталось $$W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{10^{-3}\cdot1}{2}=5\cdot10^{-4}\ \text{Дж},$$ а остальное перешло в конденсатор: $$W_{C}=W-W_{L}=1{,}125\cdot10^{-3}-5\cdot10^{-4}=6{,}25\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$
Шаг 5 — от энергии к напряжению. Из $W_{C}=\dfrac{CU^{2}}{2}$: $$U=\sqrt{\frac{2W_{C}}{C}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}25\cdot10^{-4}}{50\cdot10^{-6}}}=\sqrt{\frac{1{,}25\cdot10^{-3}}{5\cdot10^{-5}}}=\sqrt{25}=5\ \text{В}.$$
Можно записать это и одной формулой: $\dfrac{LI_{0}^{2}}{2}=\dfrac{LI^{2}}{2}+\dfrac{CU^{2}}{2}$, откуда $U=\sqrt{\dfrac{L}{C}\left(I_{0}^{2}-I^{2}\right)}=\sqrt{\dfrac{10^{-3}}{5\cdot10^{-5}}\left(2{,}25-1\right)}=\sqrt{20\cdot1{,}25}=5$ В. Для проверки прикинем максимум: если бы ток упал до нуля, напряжение достигло бы $\sqrt{20\cdot2{,}25}\approx6{,}7$ В — наши $5$ В честно меньше этого предела.
Почему модель именно такая. В первом такте работает закон Ома для полной цепи с учётом того, что идеальная катушка при постоянном токе не создаёт ЭДС самоиндукции и её сопротивление равно нулю, — поэтому она шунтирует конденсатор и $U_{0}=0$. После размыкания остаётся идеальный колебательный контур: активного сопротивления нет ни у проводов, ни у катушки, значит справедлив закон сохранения энергии в контуре — сумма энергии магнитного поля катушки $\dfrac{LI^{2}}{2}$ и энергии электрического поля конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}$ остаётся постоянной в любой момент колебаний.