В идеальном колебательном контуре — Задание 25 ЕГЭ физика

Задание №25. Электродинамика. Высокий Уровень Сложности

Магнетизм

№2. Задание 25

ID: 00026558

В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, амплитуда силы тока $$I_m=50$$ мА. В таблице приведены значения разности потенциалов на обкладках конденсатора, измеренные с точностью до 0,1 В в последовательные моменты времени.

$$t$$ , мкс	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$	$$7$$	$$8$$
$$U$$ , В	$$0{,}0$$	$$2{,}8$$	$$4{,}0$$	$$2{,}8$$	$$0{,}0$$	$$-2{,}8$$	$$-4{,}0$$	$$-2{,}8$$	$$0{,}0$$

Найдите значение электроёмкости конденсатора.

Источник: ФИПИ

Решение

Нам показали, как ведёт себя напряжение на конденсаторе идеального контура: оно то растёт до $$4{,}0$$ В, то падает до $$-4{,}0$$ В. Из этой таблички можно снять сразу две вещи — амплитуду напряжения и период колебаний, а вместе с данной амплитудой тока этого уже хватит, чтобы вычислить ёмкость.

Шаг 1 — читаем таблицу. Самое большое по модулю значение напряжения равно $$4{,}0$$ В — это и есть амплитуда $U_{m}$ . Теперь период: в момент $$t=0$$ напряжение равно нулю и дальше растёт; следующий раз ровно такая же картина (ноль и рост) повторяется в момент $$t=8$$ мкс. Значит, полный цикл длится $T=8\ \text{мкс}=8\cdot10^{-6}$ с. Заодно видно, что колебания симметричны: значения при $$t=5,6,7$$ мкс просто зеркальны значениям при $$t=1,2,3$$ мкс.

Шаг 2 — закон сохранения энергии в контуре. Контур идеальный, потерь нет, поэтому энергия только перетекает из конденсатора в катушку и обратно. В момент, когда напряжение максимально, ток равен нулю, и наоборот. Приравняем максимальные энергии: $\frac{CU_{m}^{2}}{2}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad CU_{m}^{2}=LI_{m}^{2}.$

Шаг 3 — формула Томсона. Период свободных колебаний контура: $T=2\pi\sqrt{LC}$ . Из неё $L=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}C}$ .

Шаг 4 — соединяем два уравнения. Подставим $$L$$ в равенство энергий: $CU_{m}^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}C}\quad\Rightarrow\quad C^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}U_{m}^{2}}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{TI_{m}}{2\pi U_{m}}.$ Формула получилась на удивление простой, и это не случайность: отношение $\dfrac{U_{m}}{I_{m}}$ равно $\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ , а период содержит $\sqrt{LC}$ — при перемножении корни из индуктивности сокращаются.

Шаг 5 — считаем. $T=8\cdot10^{-6}$ с, $I_{m}=50\ \text{мА}=5\cdot10^{-2}$ А, $U_{m}=4$ В: $C=\frac{8\cdot10^{-6}\cdot5\cdot10^{-2}}{2\pi\cdot4}=\frac{4\cdot10^{-7}}{25{,}13}\approx1{,}6\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.$ Это примерно $$16$$ нФ, или $$0{,}016$$ мкФ.

Прикинем заодно индуктивность: из $L=\dfrac{CU_{m}^{2}}{I_{m}^{2}}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-8}\cdot16}{2{,}5\cdot10^{-3}}\approx1{,}0\cdot10^{-4}$ Гн. Проверим период: $2\pi\sqrt{1{,}0\cdot10^{-4}\cdot1{,}6\cdot10^{-8}}=2\pi\cdot1{,}27\cdot10^{-6}\approx8\cdot10^{-6}$ с — те самые $$8$$ мкс. Всё сходится.

Почему модель именно такая. Контур назван идеальным, значит активного сопротивления нет и колебания незатухающие — только при этом условии законно приравнивать максимальную энергию электрического поля конденсатора $\dfrac{CU_{m}^{2}}{2}$ к максимальной энергии магнитного поля катушки $\dfrac{LI_{m}^{2}}{2}$ (закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре). Колебания при этом гармонические, поэтому применима формула Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$ , а период считывается прямо из таблицы как промежуток, через который состояние системы полностью повторяется.