ID: 00026558
В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, амплитуда силы тока $I_m=50$ мА. В таблице приведены значения разности потенциалов на обкладках конденсатора, измеренные с точностью до 0,1 В в последовательные моменты времени.
$t$, мкс | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$U$, В | $0{,}0$ | $2{,}8$ | $4{,}0$ | $2{,}8$ | $0{,}0$ | $-2{,}8$ | $-4{,}0$ | $-2{,}8$ | $0{,}0$ |
Найдите значение электроёмкости конденсатора.
Источник: ФИПИ
Нам показали, как ведёт себя напряжение на конденсаторе идеального контура: оно то растёт до $4{,}0$ В, то падает до $-4{,}0$ В. Из этой таблички можно снять сразу две вещи — амплитуду напряжения и период колебаний, а вместе с данной амплитудой тока этого уже хватит, чтобы вычислить ёмкость.
Шаг 1 — читаем таблицу. Самое большое по модулю значение напряжения равно $4{,}0$ В — это и есть амплитуда $U_{m}$. Теперь период: в момент $t=0$ напряжение равно нулю и дальше растёт; следующий раз ровно такая же картина (ноль и рост) повторяется в момент $t=8$ мкс. Значит, полный цикл длится $T=8\ \text{мкс}=8\cdot10^{-6}$ с. Заодно видно, что колебания симметричны: значения при $t=5,6,7$ мкс просто зеркальны значениям при $t=1,2,3$ мкс.
Шаг 2 — закон сохранения энергии в контуре. Контур идеальный, потерь нет, поэтому энергия только перетекает из конденсатора в катушку и обратно. В момент, когда напряжение максимально, ток равен нулю, и наоборот. Приравняем максимальные энергии: $$\frac{CU_{m}^{2}}{2}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad CU_{m}^{2}=LI_{m}^{2}.$$
Шаг 3 — формула Томсона. Период свободных колебаний контура: $T=2\pi\sqrt{LC}$. Из неё $L=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}C}$.
Шаг 4 — соединяем два уравнения. Подставим $L$ в равенство энергий: $$CU_{m}^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}C}\quad\Rightarrow\quad C^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}U_{m}^{2}}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{TI_{m}}{2\pi U_{m}}.$$ Формула получилась на удивление простой, и это не случайность: отношение $\dfrac{U_{m}}{I_{m}}$ равно $\sqrt{\dfrac{L}{C}}$, а период содержит $\sqrt{LC}$ — при перемножении корни из индуктивности сокращаются.
Шаг 5 — считаем. $T=8\cdot10^{-6}$ с, $I_{m}=50\ \text{мА}=5\cdot10^{-2}$ А, $U_{m}=4$ В: $$C=\frac{8\cdot10^{-6}\cdot5\cdot10^{-2}}{2\pi\cdot4}=\frac{4\cdot10^{-7}}{25{,}13}\approx1{,}6\cdot10^{-8}\ \text{Ф}.$$ Это примерно $16$ нФ, или $0{,}016$ мкФ.
Прикинем заодно индуктивность: из $L=\dfrac{CU_{m}^{2}}{I_{m}^{2}}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-8}\cdot16}{2{,}5\cdot10^{-3}}\approx1{,}0\cdot10^{-4}$ Гн. Проверим период: $2\pi\sqrt{1{,}0\cdot10^{-4}\cdot1{,}6\cdot10^{-8}}=2\pi\cdot1{,}27\cdot10^{-6}\approx8\cdot10^{-6}$ с — те самые $8$ мкс. Всё сходится.
Почему модель именно такая. Контур назван идеальным, значит активного сопротивления нет и колебания незатухающие — только при этом условии законно приравнивать максимальную энергию электрического поля конденсатора $\dfrac{CU_{m}^{2}}{2}$ к максимальной энергии магнитного поля катушки $\dfrac{LI_{m}^{2}}{2}$ (закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре). Колебания при этом гармонические, поэтому применима формула Томсона $T=2\pi\sqrt{LC}$, а период считывается прямо из таблицы как промежуток, через который состояние системы полностью повторяется.