Задание ЕГЭ по физике: В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и…

Нам показали, как ведёт себя напряжение на конденсаторе идеального контура: оно то растёт до 4{,}0 В, то падает до -4{,}0 В. Из этой таблички можно снять сразу две вещи — амплитуду напряжения и период колебаний, а вместе с данной амплитудой тока этого уже хватит, чтобы вычислить ёмкость.

Шаг 1 — читаем таблицу. Самое большое по модулю значение напряжения равно 4{,}0 В — это и есть амплитуда U_{m}. Теперь период: в момент t=0 напряжение равно нулю и дальше растёт; следующий раз ровно такая же картина (ноль и рост) повторяется в момент t=8 мкс. Значит, полный цикл длится T=8\ \text{мкс}=8\cdot10^{-6} с. Заодно видно, что колебания симметричны: значения при t=5,6,7 мкс просто зеркальны значениям при t=1,2,3 мкс.

Шаг 2 — закон сохранения энергии в контуре. Контур идеальный, потерь нет, поэтому энергия только перетекает из конденсатора в катушку и обратно. В момент, когда напряжение максимально, ток равен нулю, и наоборот. Приравняем максимальные энергии: \frac{CU_{m}^{2}}{2}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad CU_{m}^{2}=LI_{m}^{2}.

Шаг 3 — формула Томсона. Период свободных колебаний контура: T=2\pi\sqrt{LC}. Из неё L=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}C}.

Шаг 4 — соединяем два уравнения. Подставим L в равенство энергий: CU_{m}^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}C}\quad\Rightarrow\quad C^{2}=\frac{T^{2}I_{m}^{2}}{4\pi^{2}U_{m}^{2}}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{TI_{m}}{2\pi U_{m}}. Формула получилась на удивление простой, и это не случайность: отношение \dfrac{U_{m}}{I_{m}} равно \sqrt{\dfrac{L}{C}}, а период содержит \sqrt{LC} — при перемножении корни из индуктивности сокращаются.

Шаг 5 — считаем. T=8\cdot10^{-6} с, I_{m}=50\ \text{мА}=5\cdot10^{-2} А, U_{m}=4 В: C=\frac{8\cdot10^{-6}\cdot5\cdot10^{-2}}{2\pi\cdot4}=\frac{4\cdot10^{-7}}{25{,}13}\approx1{,}6\cdot10^{-8}\ \text{Ф}. Это примерно 16 нФ, или 0{,}016 мкФ.

Прикинем заодно индуктивность: из L=\dfrac{CU_{m}^{2}}{I_{m}^{2}}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-8}\cdot16}{2{,}5\cdot10^{-3}}\approx1{,}0\cdot10^{-4} Гн. Проверим период: 2\pi\sqrt{1{,}0\cdot10^{-4}\cdot1{,}6\cdot10^{-8}}=2\pi\cdot1{,}27\cdot10^{-6}\approx8\cdot10^{-6} с — те самые 8 мкс. Всё сходится.

Почему модель именно такая. Контур назван идеальным, значит активного сопротивления нет и колебания незатухающие — только при этом условии законно приравнивать максимальную энергию электрического поля конденсатора \dfrac{CU_{m}^{2}}{2} к максимальной энергии магнитного поля катушки \dfrac{LI_{m}^{2}}{2} (закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре). Колебания при этом гармонические, поэтому применима формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC}, а период считывается прямо из таблицы как промежуток, через который состояние системы полностью повторяется.