Магнетизм — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026557

Картина такая: по гладкой диэлектрической горке лежит горизонтальный стержень, по нему течёт ток, а всё это находится в вертикальном магнитном поле. Магнитное поле действует на проводник с током силой Ампера, и именно она затаскивает стержень вверх по склону, преодолевая силу тяжести. Надо найти ускорение.

Шаг 1 — куда направлена сила Ампера. Её модуль $F=BIL\sin\beta$, где $\beta$ — угол между стержнем и вектором индукции. Стержень горизонтален, поле вертикально, значит $\beta=90^{\circ}$ и $F=BIL$. Направление даёт правило левой руки: сила перпендикулярна и стержню, и полю, то есть лежит горизонтально и «толкает» стержень в сторону горы — по рисунку как раз вверх по склону.

Шаг 2 — какие ещё силы есть. Сила тяжести $mg$ — вертикально вниз. Сила нормальной реакции $N$ — перпендикулярно поверхности. Трения нет, плоскость гладкая. Больше ничего.

Шаг 3 — второй закон Ньютона вдоль склона. Стержень движется поступательно по плоскости, ускорение направлено вверх вдоль склона. Спроецируем силы на это направление. Сила Ампера горизонтальна, а направление «вверх по склону» составляет с горизонтом угол $\alpha$, поэтому её проекция равна $F\cos\alpha$. Сила тяжести вертикальна, её проекция на то же направление равна $-mg\sin\alpha$. Реакция опоры перпендикулярна склону и проекции не даёт. Получаем $$ma=BIL\cos\alpha-mg\sin\alpha.$$

Шаг 4 — делим на массу. $$a=\frac{BIL}{m}\cos\alpha-g\sin\alpha=\frac{BI}{\left(\dfrac{m}{L}\right)}\cos\alpha-g\sin\alpha.$$ Здесь и пригодилось то, что в условии дана не масса и не длина по отдельности, а их отношение $\dfrac{m}{L}=0{,}1$ кг/м: длина стержня в ответ не входит.

Шаг 5 — считаем. $\dfrac{BI}{m/L}=\dfrac{0{,}2\cdot4}{0{,}1}=8\ \text{м/с}^{2}$. Дальше $\cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}87$ и $\sin30^{\circ}=0{,}5$: $$a=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-10\cdot0{,}5=4\sqrt{3}-5\approx6{,}93-5=1{,}93\approx1{,}9\ \text{м/с}^{2}.$$

Проверим, не оторвётся ли стержень от плоскости: в перпендикулярном к склону направлении $N=mg\cos\alpha+F\sin\alpha\gt0$ — горизонтальная сила Ампера даже прижимает стержень к горке, так что он действительно скользит по поверхности, а не взлетает. И результат положителен — стержень и правда разгоняется вверх, как и сказано в условии.

Почему модель именно такая. Стержень считаем твёрдым телом, движущимся поступательно, поэтому достаточно второго закона Ньютона для его центра масс: $m\vec{a}=\vec{F}+m\vec{g}+\vec{N}$ (принцип суперпозиции сил). Модуль силы Ампера берём в виде $F=BIL$, поскольку стержень перпендикулярен вектору магнитной индукции. Трение отсутствует по условию (плоскость гладкая), электрических сил нет — подложка диэлектрическая, и ток идёт только по стержню. Проецирование на направление движения убирает из уравнения неизвестную силу реакции опоры.