ID: 00026557
Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения поступательно движется с ускорением вверх по гладкой диэлектрической наклонной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле (см. рисунок). По стержню протекает ток I=4 А. Угол наклона плоскости \alpha=30^{\circ}. Отношение массы стержня к его длине \dfrac{m}{L}=0,1 кг/м. Модуль индукции магнитного поля B=0,2 Тл. Каково ускорение стержня? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень.
Источник: ФИПИ
Картина такая: по гладкой диэлектрической горке лежит горизонтальный стержень, по нему течёт ток, а всё это находится в вертикальном магнитном поле. Магнитное поле действует на проводник с током силой Ампера, и именно она затаскивает стержень вверх по склону, преодолевая силу тяжести. Надо найти ускорение.
Шаг 1 — куда направлена сила Ампера. Её модуль F=BIL\sin\beta, где \beta — угол между стержнем и вектором индукции. Стержень горизонтален, поле вертикально, значит \beta=90^{\circ} и F=BIL. Направление даёт правило левой руки: сила перпендикулярна и стержню, и полю, то есть лежит горизонтально и «толкает» стержень в сторону горы — по рисунку как раз вверх по склону.
Шаг 2 — какие ещё силы есть. Сила тяжести mg — вертикально вниз. Сила нормальной реакции N — перпендикулярно поверхности. Трения нет, плоскость гладкая. Больше ничего.
Шаг 3 — второй закон Ньютона вдоль склона. Стержень движется поступательно по плоскости, ускорение направлено вверх вдоль склона. Спроецируем силы на это направление. Сила Ампера горизонтальна, а направление «вверх по склону» составляет с горизонтом угол \alpha, поэтому её проекция равна F\cos\alpha. Сила тяжести вертикальна, её проекция на то же направление равна -mg\sin\alpha. Реакция опоры перпендикулярна склону и проекции не даёт. Получаем ma=BIL\cos\alpha-mg\sin\alpha.
Шаг 4 — делим на массу. a=\frac{BIL}{m}\cos\alpha-g\sin\alpha=\frac{BI}{\left(\dfrac{m}{L}\right)}\cos\alpha-g\sin\alpha. Здесь и пригодилось то, что в условии дана не масса и не длина по отдельности, а их отношение \dfrac{m}{L}=0{,}1 кг/м: длина стержня в ответ не входит.
Шаг 5 — считаем. \dfrac{BI}{m/L}=\dfrac{0{,}2\cdot4}{0{,}1}=8\ \text{м/с}^{2}. Дальше \cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}87 и \sin30^{\circ}=0{,}5: a=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-10\cdot0{,}5=4\sqrt{3}-5\approx6{,}93-5=1{,}93\approx1{,}9\ \text{м/с}^{2}.
Проверим, не оторвётся ли стержень от плоскости: в перпендикулярном к склону направлении N=mg\cos\alpha+F\sin\alpha\gt0 — горизонтальная сила Ампера даже прижимает стержень к горке, так что он действительно скользит по поверхности, а не взлетает. И результат положителен — стержень и правда разгоняется вверх, как и сказано в условии.
Почему модель именно такая. Стержень считаем твёрдым телом, движущимся поступательно, поэтому достаточно второго закона Ньютона для его центра масс: m\vec{a}=\vec{F}+m\vec{g}+\vec{N} (принцип суперпозиции сил). Модуль силы Ампера берём в виде F=BIL, поскольку стержень перпендикулярен вектору магнитной индукции. Трение отсутствует по условию (плоскость гладкая), электрических сил нет — подложка диэлектрическая, и ток идёт только по стержню. Проецирование на направление движения убирает из уравнения неизвестную силу реакции опоры.