ID: 00026548
Маленькое положительно заряженное тело массой m , прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной L , может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции \overset{\to}{B} которого перпендикулярен плоскости и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен \upsilon _{н}. Заряд тела равен q . Найдите модуль вектора индукции магнитного поля.
Источник: ФИПИ
Перед нами знакомый «мёртвая петля на нити», только с изюминкой: шарик заряжен, и вся картина погружена в магнитное поле. На рисунке вектор \vec{B} изображён точкой в кружке — поле направлено на нас, перпендикулярно плоскости вращения, а шарик в нижней точке летит вправо со скоростью \upsilon_{н}.
Шаг 1 — куда толкает магнитная сила. Заряд положительный, в нижней точке скорость направлена вправо, поле — на нас. По правилу левой руки сила Лоренца F=q\upsilon B смотрит вниз, то есть от центра окружности. Дальше шарик едет против часовой стрелки, и на всём пути картина повторяется: сила Лоренца перпендикулярна скорости и в каждой точке направлена по радиусу наружу, от центра. Запомним это — она всё время «разгружает» нить.
Шаг 2 — что значит «наименьшая скорость». Нить может только тянуть, толкать она не умеет. Самое опасное место — верхняя точка: там сила тяжести тянет шарик к центру, и если скорости не хватит, нить провиснет и шарик сорвётся с окружности. Граница — когда в верхней точке натяжение нити обращается в ноль: T=0.
Шаг 3 — второй закон Ньютона в верхней точке. Обозначим \upsilon_{в} — скорость в верхней точке. К центру (то есть вниз) направлена сила тяжести mg и натяжение T=0, от центра (вверх) — сила Лоренца q\upsilon_{в}B. Сумма этих сил даёт центростремительное ускорение \dfrac{\upsilon_{в}^{2}}{L}:
mg-q\upsilon_{в}B=\frac{m\upsilon_{в}^{2}}{L}.
Шаг 4 — связь скоростей сверху и снизу. Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому работы она не совершает; нить нерастяжима и тоже работы не совершает. Значит, механическая энергия сохраняется. Отсчитывая высоту от нижней точки (верхняя выше на 2L): \dfrac{m\upsilon_{н}^{2}}{2}=\dfrac{m\upsilon_{в}^{2}}{2}+mg\cdot 2L, откуда \upsilon_{в}^{2}=\upsilon_{н}^{2}-4gL и \upsilon_{в}=\sqrt{\upsilon_{н}^{2}-4gL}.
Шаг 5 — выражаем индукцию. Из уравнения шага 3: q\upsilon_{в}B=mg-\dfrac{m\upsilon_{в}^{2}}{L}=\dfrac{m\left(gL-\upsilon_{в}^{2}\right)}{L}. Подставим \upsilon_{в}^{2}=\upsilon_{н}^{2}-4gL: скобка превращается в gL-\upsilon_{н}^{2}+4gL=5gL-\upsilon_{н}^{2}. Итого
B=\frac{m\left(5gL-\upsilon_{н}^{2}\right)}{qL\sqrt{\upsilon_{н}^{2}-4gL}}.
Проверка на здравый смысл. Если поля нет, знаменитое школьное условие петли даёт \upsilon_{н}^{2}=5gL — и наша формула честно выдаёт B=0. А если \upsilon_{н}^{2}\lt 5gL, то числитель положителен: поле нужно, и оно помогает — сила Лоренца тянет шарик наружу и позволяет пройти верхнюю точку медленнее. Само решение имеет смысл при 4gL\lt\upsilon_{н}^{2}\lt 5gL: иначе шарик просто не долетит до верха.
Почему модель именно такая. Шарик считаем материальной точкой на нерастяжимой нити, поэтому траектория — окружность радиуса L, и работает второй закон Ньютона в проекции на радиус: сумма проекций сил равна m\upsilon^{2}/L. Сила Лоренца F=q\upsilon B\sin\alpha здесь берётся с \sin\alpha=1, потому что скорость лежит в плоскости рисунка, а поле ей перпендикулярно. И, наконец, применим закон сохранения механической энергии: единственные силы, кроме тяжести, — натяжение нити и сила Лоренца, а обе они перпендикулярны перемещению и работы не совершают.