ID: 00026548
Маленькое положительно заряженное тело массой m , прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной L , может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции $\overset{\to}{B}$ которого перпендикулярен плоскости и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен $\upsilon _{н}.$ Заряд тела равен q . Найдите модуль вектора индукции магнитного поля.
Источник: ФИПИ
Перед нами знакомый «мёртвая петля на нити», только с изюминкой: шарик заряжен, и вся картина погружена в магнитное поле. На рисунке вектор $\vec{B}$ изображён точкой в кружке — поле направлено на нас, перпендикулярно плоскости вращения, а шарик в нижней точке летит вправо со скоростью $\upsilon_{н}$.
Шаг 1 — куда толкает магнитная сила. Заряд положительный, в нижней точке скорость направлена вправо, поле — на нас. По правилу левой руки сила Лоренца $F=q\upsilon B$ смотрит вниз, то есть от центра окружности. Дальше шарик едет против часовой стрелки, и на всём пути картина повторяется: сила Лоренца перпендикулярна скорости и в каждой точке направлена по радиусу наружу, от центра. Запомним это — она всё время «разгружает» нить.
Шаг 2 — что значит «наименьшая скорость». Нить может только тянуть, толкать она не умеет. Самое опасное место — верхняя точка: там сила тяжести тянет шарик к центру, и если скорости не хватит, нить провиснет и шарик сорвётся с окружности. Граница — когда в верхней точке натяжение нити обращается в ноль: $T=0$.
Шаг 3 — второй закон Ньютона в верхней точке. Обозначим $\upsilon_{в}$ — скорость в верхней точке. К центру (то есть вниз) направлена сила тяжести $mg$ и натяжение $T=0$, от центра (вверх) — сила Лоренца $q\upsilon_{в}B$. Сумма этих сил даёт центростремительное ускорение $\dfrac{\upsilon_{в}^{2}}{L}$:
$$mg-q\upsilon_{в}B=\frac{m\upsilon_{в}^{2}}{L}.$$
Шаг 4 — связь скоростей сверху и снизу. Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому работы она не совершает; нить нерастяжима и тоже работы не совершает. Значит, механическая энергия сохраняется. Отсчитывая высоту от нижней точки (верхняя выше на $2L$): $\dfrac{m\upsilon_{н}^{2}}{2}=\dfrac{m\upsilon_{в}^{2}}{2}+mg\cdot 2L$, откуда $\upsilon_{в}^{2}=\upsilon_{н}^{2}-4gL$ и $\upsilon_{в}=\sqrt{\upsilon_{н}^{2}-4gL}$.
Шаг 5 — выражаем индукцию. Из уравнения шага 3: $q\upsilon_{в}B=mg-\dfrac{m\upsilon_{в}^{2}}{L}=\dfrac{m\left(gL-\upsilon_{в}^{2}\right)}{L}$. Подставим $\upsilon_{в}^{2}=\upsilon_{н}^{2}-4gL$: скобка превращается в $gL-\upsilon_{н}^{2}+4gL=5gL-\upsilon_{н}^{2}$. Итого
$$B=\frac{m\left(5gL-\upsilon_{н}^{2}\right)}{qL\sqrt{\upsilon_{н}^{2}-4gL}}.$$
Проверка на здравый смысл. Если поля нет, знаменитое школьное условие петли даёт $\upsilon_{н}^{2}=5gL$ — и наша формула честно выдаёт $B=0$. А если $\upsilon_{н}^{2}\lt 5gL$, то числитель положителен: поле нужно, и оно помогает — сила Лоренца тянет шарик наружу и позволяет пройти верхнюю точку медленнее. Само решение имеет смысл при $4gL\lt\upsilon_{н}^{2}\lt 5gL$: иначе шарик просто не долетит до верха.
Почему модель именно такая. Шарик считаем материальной точкой на нерастяжимой нити, поэтому траектория — окружность радиуса $L$, и работает второй закон Ньютона в проекции на радиус: сумма проекций сил равна $m\upsilon^{2}/L$. Сила Лоренца $F=q\upsilon B\sin\alpha$ здесь берётся с $\sin\alpha=1$, потому что скорость лежит в плоскости рисунка, а поле ей перпендикулярно. И, наконец, применим закон сохранения механической энергии: единственные силы, кроме тяжести, — натяжение нити и сила Лоренца, а обе они перпендикулярны перемещению и работы не совершают.