ID: 00026373
Пружинное ружьё наклонено под углом a = 30° к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой m = 50 г проходит по стволу ружья расстояние b = 0,5 м, вылетает и падает на расстоянии L от дула ружья в точке М , находящейся с ним на одной высоте (см. рисунок). Найдите расстояние L . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. Пружинное ружьё направлено вверх под углом \alpha=30^\circ к горизонту. Шарик разгоняется внутри ствола, проходя по нему путь b=0{,}5 м, вылетает из дула и дальше летит как обычное брошенное тело. Точка M, куда он падает, находится на одной высоте с дулом, а L — горизонтальное расстояние от дула до M.
Задача складывается из двух частей: сначала энергетика выстрела, потом баллистика полёта.
Почему в стволе нельзя забыть про высоту. Ствол наклонён, поэтому, пока шарик едет по нему 0{,}5 м, он ещё и поднимается на b\sin\alpha. Часть энергии пружины уходит именно на этот подъём, и до кинетической энергии доходит не всё. Трения в стволе нет, поэтому энергия только перераспределяется: энергия сжатой пружины = кинетическая энергия шарика у дула + прибавка потенциальной энергии.
Шаг 1 — подъём внутри ствола: b\sin\alpha=0{,}5\cdot\sin 30^\circ=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25 м. Затраты энергии на него: mgb\sin\alpha=0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}25=0{,}125 Дж.
Шаг 2 — энергетический баланс выстрела: E=\dfrac{mv^2}{2}+mgb\sin\alpha, откуда \dfrac{mv^2}{2}=0{,}41-0{,}125=0{,}285\ \text{Дж}.
Шаг 3 — скорость у дула. Из \dfrac{0{,}05\,v^2}{2}=0{,}285 получаем v^2=\dfrac{2\cdot 0{,}285}{0{,}05}=11{,}4 м²/с², то есть v\approx 3{,}4 м/с.
Почему дальше годится формула дальности броска. Сопротивления воздуха нет, точка падения — на той же высоте, что и точка вылета. Это в точности стандартная задача о броске под углом: по горизонтали движение равномерное, по вертикали — как у тела, брошенного вверх и вернувшегося на прежний уровень. Время полёта t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}, а дальность L=v\cos\alpha\cdot t=\dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}.
Шаг 4 — считаем дальность: L=\dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}=\dfrac{11{,}4\cdot\sin 60^\circ}{10}=\dfrac{11{,}4\cdot 0{,}866}{10}=\dfrac{9{,}87}{10}\approx 0{,}99\ \text{м}.
Проверим себя вторым путём. Время полёта t=\dfrac{2\cdot 3{,}376\cdot 0{,}5}{10}\approx 0{,}338 с, горизонтальная скорость 3{,}376\cdot 0{,}866\approx 2{,}92 м/с, значит L\approx 2{,}92\cdot 0{,}338\approx 0{,}99 м. Совпало. И обрати внимание: если бы про подъём в стволе забыли, получилось бы v^2=16{,}4 и L\approx 1{,}42 м — ошибка почти в полтора раза, так что этот шаг действительно важен.