Задание 22 ЕГЭ по физике №00026373

Разберём картинку. Пружинное ружьё направлено вверх под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту. Шарик разгоняется внутри ствола, проходя по нему путь $b=0{,}5$ м, вылетает из дула и дальше летит как обычное брошенное тело. Точка $M$, куда он падает, находится на одной высоте с дулом, а $L$ — горизонтальное расстояние от дула до $M$.

Задача складывается из двух частей: сначала энергетика выстрела, потом баллистика полёта.

Почему в стволе нельзя забыть про высоту. Ствол наклонён, поэтому, пока шарик едет по нему $0{,}5$ м, он ещё и поднимается на $b\sin\alpha$. Часть энергии пружины уходит именно на этот подъём, и до кинетической энергии доходит не всё. Трения в стволе нет, поэтому энергия только перераспределяется: энергия сжатой пружины $=$ кинетическая энергия шарика у дула $+$ прибавка потенциальной энергии.

Шаг 1 — подъём внутри ствола: $b\sin\alpha=0{,}5\cdot\sin 30^\circ=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$ м. Затраты энергии на него: $mgb\sin\alpha=0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}25=0{,}125$ Дж.

Шаг 2 — энергетический баланс выстрела: $E=\dfrac{mv^2}{2}+mgb\sin\alpha$, откуда $$\dfrac{mv^2}{2}=0{,}41-0{,}125=0{,}285\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — скорость у дула. Из $\dfrac{0{,}05\,v^2}{2}=0{,}285$ получаем $v^2=\dfrac{2\cdot 0{,}285}{0{,}05}=11{,}4$ м²/с², то есть $v\approx 3{,}4$ м/с.

Почему дальше годится формула дальности броска. Сопротивления воздуха нет, точка падения — на той же высоте, что и точка вылета. Это в точности стандартная задача о броске под углом: по горизонтали движение равномерное, по вертикали — как у тела, брошенного вверх и вернувшегося на прежний уровень. Время полёта $t=\dfrac{2v\sin\alpha}{g}$, а дальность $L=v\cos\alpha\cdot t=\dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}$.

Шаг 4 — считаем дальность: $$L=\dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g}=\dfrac{11{,}4\cdot\sin 60^\circ}{10}=\dfrac{11{,}4\cdot 0{,}866}{10}=\dfrac{9{,}87}{10}\approx 0{,}99\ \text{м}.$$

Проверим себя вторым путём. Время полёта $t=\dfrac{2\cdot 3{,}376\cdot 0{,}5}{10}\approx 0{,}338$ с, горизонтальная скорость $3{,}376\cdot 0{,}866\approx 2{,}92$ м/с, значит $L\approx 2{,}92\cdot 0{,}338\approx 0{,}99$ м. Совпало. И обрати внимание: если бы про подъём в стволе забыли, получилось бы $v^2=16{,}4$ и $L\approx 1{,}42$ м — ошибка почти в полтора раза, так что этот шаг действительно важен.