ID: 00026388
Брусок массой m скользит по горизонтальной поверхности стола и нагоняет брусок массой 4 m , скользящий по столу в том же направлении. В результате неупругого соударения бруски слипаются. Их скорости перед ударом: $\upsilon _{0} =5$ м/с и $\dfrac{\upsilon _{0}}{2} .$ Коэффициент трения скольжения между брусками и столом $\mu=0,5.$ На какое расстояние от места соударения переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их скорость станет равна $\dfrac{2}{5} \upsilon _{0} ?$ Влиянием силы трения со стороны стола на столкновение брусков пренебречь.
Источник: ФИПИ
История такая: по столу в одну сторону едут два бруска. Задний, лёгкий, массой $m$ едет быстро — со скоростью $\upsilon_0=5$ м/с, передний, вчетверо тяжелее, массой $4m$ — вдвое медленнее, $\dfrac{\upsilon_0}{2}=2{,}5$ м/с. Лёгкий догоняет тяжёлый, они сталкиваются и слипаются. Дальше слипшаяся «двойка» скользит по столу и тормозится трением. Нужно найти путь, который она пройдёт, пока её скорость не упадёт до $\dfrac{2}{5}\upsilon_0=2$ м/с.
Задача чётко делится на два этапа: удар и последующее торможение. Их и разберём по очереди.
Шаг 1 — удар. Столкновение неупругое, кинетическая энергия при нём не сохраняется (часть уходит в нагрев и деформацию), зато сохраняется импульс. Удар мгновенный, влиянием трения со стороны стола на само столкновение по условию пренебрегаем, поэтому закон сохранения импульса можно писать для системы двух брусков: $$m\upsilon_0+4m\dfrac{\upsilon_0}{2}=5m\,u.$$ Слева $m\upsilon_0+2m\upsilon_0=3m\upsilon_0$, значит $u=\dfrac{3\upsilon_0}{5}=\dfrac{3\cdot 5}{5}=3$ м/с. Обрати внимание: масса $m$ сократилась, конкретное её значение и не нужно.
Шаг 2 — торможение. Теперь по столу едет тело массой $5m$. Прижимает его к столу сила тяжести $5mg$, поэтому сила трения скольжения равна $F_{тр}=\mu\cdot 5mg$, и она направлена против движения. По второму закону Ньютона $5ma=-\mu\cdot 5mg$, откуда модуль ускорения $a=\mu g=0{,}5\cdot 10=5$ м/с$^2$. Масса снова сократилась — торможение не зависит от того, насколько тела тяжёлые.
Шаг 3 — путь до нужной скорости. Движение равнозамедленное, удобна формула без времени: $\upsilon^2=u^2-2as$, где $\upsilon=\dfrac{2}{5}\upsilon_0=2$ м/с. Отсюда $$s=\dfrac{u^2-\upsilon^2}{2a}=\dfrac{3^2-2^2}{2\cdot 5}=\dfrac{9-4}{10}=0{,}5\ \text{м}.$$
Прикинем правдоподобие: скорость упала всего с $3$ до $2$ м/с, а тормозит довольно сильное трение ($\mu=0{,}5$), так что полметра — вполне разумный путь. Кстати, до полной остановки бруски проехали бы $\dfrac{9}{10}=0{,}9$ м, то есть найденный участок — большая часть пути, но не весь.
Почему такая модель. На первом этапе бруски — система тел, на которую вдоль движения за время удара практически не действуют внешние силы (трение мало и действует ничтожное время), поэтому работает закон сохранения импульса; энергию тут применять нельзя — удар абсолютно неупругий, часть механической энергии необратимо теряется. На втором этапе тел уже одно, оно движется поступательно, и здесь работают второй закон Ньютона и закон сухого трения скольжения $F_{тр}=\mu N$ с $N=5mg$: сила постоянна, значит ускорение постоянно и применима кинематика равноускоренного движения.