ID: 00026384
Небольшой кубик массой m=1 кг начинает скользить с нулевой начальной скоростью по гладкой горке, переходящей в «мёртвую петлю» радиусом R=2 м (см. рисунок). С какой высоты Н был отпущен кубик, если на высоте h=2,5 м от нижней точки петли сила давления кубика на стенку петли F=5 Н? Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Источник: ФИПИ
Что тут происходит. Кубик отпускают без толчка с высоты H, он съезжает по гладкой горке (трения нет!) и влетает внутрь кольцевой «мёртвой петли» радиусом R=2 м. Нас интересует момент, когда кубик находится на высоте h=2{,}5 м над самой нижней точкой петли: там он давит на стенку с силой F=5 Н. Заметь: h\gt R, то есть точка лежит выше центра петли — кубик уже на «верхней половине» кольца. На рисунке к решению стоит показать три силы в этой точке: силу тяжести mg вниз, реакцию стенки N по радиусу к центру и вектор ускорения, тоже к центру.
Шаг 1 — сила, с которой стенка давит на кубик. По третьему закону Ньютона кубик и стенка давят друг на друга одинаково по модулю: если кубик жмёт на стенку с силой 5 Н, то стенка толкает кубик с N=5 Н. Кубик едет по внутренней поверхности, поэтому реакция направлена внутрь, к центру петли.
Шаг 2 — геометрия точки. Центр петли O находится на высоте R=2 м. Кубик выше центра на h-R=2{,}5-2=0{,}5 м. Значит, радиус, проведённый к кубику, отклонён от вертикали так, что косинус угла между радиусом и вертикалью равен \dfrac{h-R}{R}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25. Отсюда составляющая силы тяжести, направленная к центру, равна mg\cdot\dfrac{h-R}{R}.
Шаг 3 — второй закон Ньютона по радиусу. Движение по окружности — движение с центростремительным ускорением a=\dfrac{v^2}{R}, направленным к центру. К центру «работают» и реакция стенки, и та самая составляющая силы тяжести: N+mg\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{mv^2}{R}. Выразим квадрат скорости: v^2=\dfrac{NR}{m}+g(h-R)=\dfrac{5\cdot 2}{1}+10\cdot 0{,}5=10+5=15 м^2/с^2.
Шаг 4 — закон сохранения энергии. Горка и петля гладкие, значит механическая энергия сохраняется. Отсчитываем высоту от нижней точки петли, начальная скорость нулевая: mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}. Масса сокращается: H=h+\dfrac{v^2}{2g}=2{,}5+\dfrac{15}{2\cdot 10}=2{,}5+0{,}75=3{,}25 м.
Проверка себя: H вышла всего на 0{,}75 м больше h — то есть в интересующей нас точке скорость невелика (v=\sqrt{15}\approx 3{,}9 м/с), и давление на стенку получилось скромным, 5 Н при весе кубика 10 Н. Всё согласуется.
Почему такая модель. Кубик «небольшой» — считаем его материальной точкой, а поверхность гладкая, поэтому силы трения нет и работу совершает только сила тяжести. Отсюда два инструмента: закон сохранения механической энергии (связывает высоту и скорость в любых двух точках) и второй закон Ньютона в проекции на радиус (связывает скорость с силой давления в конкретной точке). Третий закон Ньютона нужен, чтобы перейти от «силы давления кубика на стенку» к «реакции стенки на кубик». Обрати внимание: в проекции на радиус не участвует касательная составляющая силы тяжести — она меняет модуль скорости, но за центростремительное ускорение не отвечает.