ID: 00026384
Небольшой кубик массой $m=1$ кг начинает скользить с нулевой начальной скоростью по гладкой горке, переходящей в «мёртвую петлю» радиусом $R=2$ м (см. рисунок). С какой высоты Н был отпущен кубик, если на высоте $h=2,5$ м от нижней точки петли сила давления кубика на стенку петли $F=5$ Н? Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Источник: ФИПИ
Что тут происходит. Кубик отпускают без толчка с высоты $H$, он съезжает по гладкой горке (трения нет!) и влетает внутрь кольцевой «мёртвой петли» радиусом $R=2$ м. Нас интересует момент, когда кубик находится на высоте $h=2{,}5$ м над самой нижней точкой петли: там он давит на стенку с силой $F=5$ Н. Заметь: $h\gt R$, то есть точка лежит выше центра петли — кубик уже на «верхней половине» кольца. На рисунке к решению стоит показать три силы в этой точке: силу тяжести $mg$ вниз, реакцию стенки $N$ по радиусу к центру и вектор ускорения, тоже к центру.
Шаг 1 — сила, с которой стенка давит на кубик. По третьему закону Ньютона кубик и стенка давят друг на друга одинаково по модулю: если кубик жмёт на стенку с силой $5$ Н, то стенка толкает кубик с $N=5$ Н. Кубик едет по внутренней поверхности, поэтому реакция направлена внутрь, к центру петли.
Шаг 2 — геометрия точки. Центр петли $O$ находится на высоте $R=2$ м. Кубик выше центра на $h-R=2{,}5-2=0{,}5$ м. Значит, радиус, проведённый к кубику, отклонён от вертикали так, что косинус угла между радиусом и вертикалью равен $\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25$. Отсюда составляющая силы тяжести, направленная к центру, равна $mg\cdot\dfrac{h-R}{R}$.
Шаг 3 — второй закон Ньютона по радиусу. Движение по окружности — движение с центростремительным ускорением $a=\dfrac{v^2}{R}$, направленным к центру. К центру «работают» и реакция стенки, и та самая составляющая силы тяжести: $$N+mg\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{mv^2}{R}.$$ Выразим квадрат скорости: $v^2=\dfrac{NR}{m}+g(h-R)=\dfrac{5\cdot 2}{1}+10\cdot 0{,}5=10+5=15$ м$^2$/с$^2$.
Шаг 4 — закон сохранения энергии. Горка и петля гладкие, значит механическая энергия сохраняется. Отсчитываем высоту от нижней точки петли, начальная скорость нулевая: $mgH=mgh+\dfrac{mv^2}{2}$. Масса сокращается: $H=h+\dfrac{v^2}{2g}=2{,}5+\dfrac{15}{2\cdot 10}=2{,}5+0{,}75=3{,}25$ м.
Проверка себя: $H$ вышла всего на $0{,}75$ м больше $h$ — то есть в интересующей нас точке скорость невелика ($v=\sqrt{15}\approx 3{,}9$ м/с), и давление на стенку получилось скромным, $5$ Н при весе кубика $10$ Н. Всё согласуется.
Почему такая модель. Кубик «небольшой» — считаем его материальной точкой, а поверхность гладкая, поэтому силы трения нет и работу совершает только сила тяжести. Отсюда два инструмента: закон сохранения механической энергии (связывает высоту и скорость в любых двух точках) и второй закон Ньютона в проекции на радиус (связывает скорость с силой давления в конкретной точке). Третий закон Ньютона нужен, чтобы перейти от «силы давления кубика на стенку» к «реакции стенки на кубик». Обрати внимание: в проекции на радиус не участвует касательная составляющая силы тяжести — она меняет модуль скорости, но за центростремительное ускорение не отвечает.