ID: 00026379
Небольшая шайба массой m=10 г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом R=0,14 м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте h=0,18\text{м} она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А .
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Вертикальное кольцо радиусом R=0{,}14 м закреплено так, что касается стола нижней точкой O. Шайба стартует из этой нижней точки с какой-то начальной скоростью и скользит по ВНУТРЕННЕЙ стороне кольца, поднимаясь. На высоте h=0{,}18 м (точка A) она отрывается от кольца и дальше летит свободно. Заметь: h больше R, значит точка A находится выше центра кольца — как раз там, где отрыв и возможен.
Почему отрыв происходит именно выше центра. Пока шайба на внутренней поверхности, кольцо давит на неё внутрь, к центру. Выше центра сила тяжести тоже имеет составляющую, направленную к центру. Второй закон Ньютона в проекции на радиус: N+mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}{R}, где \theta — угол между радиусом OA-направлением «вверх от центра» и радиусом к шайбе. Поднимаясь, шайба замедляется, требуемая центростремительная сила падает, и в какой-то момент одной силы тяжести становится достаточно: тогда N=0 — это и есть отрыв.
Шаг 1 — геометрия точки A. Центр кольца находится на высоте R над столом. Точка A выше центра на h-R, поэтому \cos\theta=\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{0{,}18-0{,}14}{0{,}14}=\dfrac{0{,}04}{0{,}14}=\dfrac{2}{7}.
Шаг 2 — скорость в точке отрыва. Полагаем N=0: mg\cos\theta=\dfrac{mv_A^2}{R}, значит v_A^2=gR\cos\theta. Подставим \cos\theta из шага 1 — радиус сократится: v_A^2=gR\cdot\dfrac{h-R}{R}=g\,(h-R)=10\cdot 0{,}04=0{,}4\ \text{м²/с².}
Шаг 3 — закон сохранения энергии от O до A. Кольцо гладкое, трения нет, поэтому начальная кинетическая энергия уходит на подъём и на кинетическую энергию в точке A: E_0=\dfrac{mv_A^2}{2}+mgh.
Шаг 4 — считаем (m=10 г =0{,}01 кг). Кинетическая энергия в A: \dfrac{0{,}01\cdot 0{,}4}{2}=0{,}002 Дж. Потенциальная на высоте h: 0{,}01\cdot 10\cdot 0{,}18=0{,}018 Дж. Сумма: E_0=0{,}002+0{,}018=0{,}02\ \text{Дж}.
Проверим себя. Из начальных 0{,}02 Дж почти всё (90\%) ушло на подъём, и лишь 0{,}002 Дж осталось на движение — то есть в точке отрыва шайба уже еле ползёт, её скорость всего \sqrt{0{,}4}\approx 0{,}63 м/с. Это логично: точка A почти на самом верху кольца (высота 0{,}18 м из максимальных 2R=0{,}28 м), а чем выше отрыв, тем медленнее шайба. Начальная скорость, кстати, была \sqrt{\dfrac{2E_0}{m}}=\sqrt{4}=2 м/с.