ID: 00026379
Небольшая шайба массой $m=10$ г, начав движение из нижней точки закреплённого вертикального гладкого кольца радиусом $R=0,14$ м, скользит по его внутренней поверхности. На высоте $h=0,18\text{м}$ она отрывается от кольца и свободно падает. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке А .
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Вертикальное кольцо радиусом $R=0{,}14$ м закреплено так, что касается стола нижней точкой $O$. Шайба стартует из этой нижней точки с какой-то начальной скоростью и скользит по ВНУТРЕННЕЙ стороне кольца, поднимаясь. На высоте $h=0{,}18$ м (точка $A$) она отрывается от кольца и дальше летит свободно. Заметь: $h$ больше $R$, значит точка $A$ находится выше центра кольца — как раз там, где отрыв и возможен.
Почему отрыв происходит именно выше центра. Пока шайба на внутренней поверхности, кольцо давит на неё внутрь, к центру. Выше центра сила тяжести тоже имеет составляющую, направленную к центру. Второй закон Ньютона в проекции на радиус: $N+mg\cos\theta=\dfrac{mv^2}{R}$, где $\theta$ — угол между радиусом $OA$-направлением «вверх от центра» и радиусом к шайбе. Поднимаясь, шайба замедляется, требуемая центростремительная сила падает, и в какой-то момент одной силы тяжести становится достаточно: тогда $N=0$ — это и есть отрыв.
Шаг 1 — геометрия точки $A$. Центр кольца находится на высоте $R$ над столом. Точка $A$ выше центра на $h-R$, поэтому $$\cos\theta=\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{0{,}18-0{,}14}{0{,}14}=\dfrac{0{,}04}{0{,}14}=\dfrac{2}{7}.$$
Шаг 2 — скорость в точке отрыва. Полагаем $N=0$: $mg\cos\theta=\dfrac{mv_A^2}{R}$, значит $v_A^2=gR\cos\theta$. Подставим $\cos\theta$ из шага 1 — радиус сократится: $$v_A^2=gR\cdot\dfrac{h-R}{R}=g\,(h-R)=10\cdot 0{,}04=0{,}4\ \text{м²/с².}$$
Шаг 3 — закон сохранения энергии от $O$ до $A$. Кольцо гладкое, трения нет, поэтому начальная кинетическая энергия уходит на подъём и на кинетическую энергию в точке $A$: $$E_0=\dfrac{mv_A^2}{2}+mgh.$$
Шаг 4 — считаем ($m=10$ г $=0{,}01$ кг). Кинетическая энергия в $A$: $\dfrac{0{,}01\cdot 0{,}4}{2}=0{,}002$ Дж. Потенциальная на высоте $h$: $0{,}01\cdot 10\cdot 0{,}18=0{,}018$ Дж. Сумма: $$E_0=0{,}002+0{,}018=0{,}02\ \text{Дж}.$$
Проверим себя. Из начальных $0{,}02$ Дж почти всё ($90\%$) ушло на подъём, и лишь $0{,}002$ Дж осталось на движение — то есть в точке отрыва шайба уже еле ползёт, её скорость всего $\sqrt{0{,}4}\approx 0{,}63$ м/с. Это логично: точка $A$ почти на самом верху кольца (высота $0{,}18$ м из максимальных $2R=0{,}28$ м), а чем выше отрыв, тем медленнее шайба. Начальная скорость, кстати, была $\sqrt{\dfrac{2E_0}{m}}=\sqrt{4}=2$ м/с.