ID: 00026374
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью \upsilon _{0} под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. На какое расстояние d по горизонтали переместятся шарики за время от столкновения шариков до их падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что за ситуация. Один пластилиновый шарик летит с земли под углом \alpha со скоростью \upsilon_0, другой такой же в тот же момент начинает падать с высоты без начальной скорости. В воздухе они слипаются, и сразу после слипания их общая скорость горизонтальна. Спрашивают, насколько далеко по горизонтали улетит слипшийся комок до падения на землю.
Значит, нужны две вещи: горизонтальная скорость комка после удара и время его дальнейшего полёта. Разберём их по очереди.
Горизонтальная скорость. Столкновение мгновенное, значит суммарный импульс сохраняется, а сила тяжести за этот миг ничего не меняет. У падающего шарика горизонтальной скорости нет вовсе, у брошенного она равна \upsilon_0\cos\alpha и не меняется за весь полёт. Массы одинаковы, поэтому по горизонтали m\upsilon_0\cos\alpha=2m\,u_x, и комок летит вдвое медленнее: u_x=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}. Это важная деталь: «лишняя» масса неподвижного по горизонтали шарика ровно вдвое тормозит движение вперёд.
Момент столкновения. Условие «сразу после удара скорость горизонтальна» означает, что вертикальные импульсы шариков погасили друг друга. Пусть удар произошёл в момент t_1: у брошенного шарика вертикальная скорость \upsilon_0\sin\alpha-g t_1 (вверх), у падающего g t_1 (вниз). Их сумма равна нулю: \upsilon_0\sin\alpha-g t_1-g t_1=0, откуда t_1=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.
Высота столкновения. Считаем по брошенному шарику: h=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1-\dfrac{g t_1^2}{2}=\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{2g}-\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}=\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}.
Время падения после удара. Вертикальной скорости у комка теперь нет, значит по вертикали это обычное падение из состояния покоя: h=\dfrac{g t^2}{2}, откуда t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{4g^2}}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.
Итог. По горизонтали комок движется равномерно (сопротивления нет), поэтому d=u_x\, t=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{4g}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{8g}.
Проверим на числах. Возьмём \upsilon_0=20 м/с и \alpha=30^\circ. Тогда u_x=\dfrac{20\cdot 0{,}866}{2}\approx 8{,}66 м/с, удар произошёл через t_1=0{,}5 с на высоте h=3{,}75 м, падение заняло t\approx 0{,}87 с, и d\approx 8{,}66\cdot 0{,}87\approx 7{,}5 м. Формула даёт \dfrac{1{,}732\cdot 400\cdot 0{,}866}{8\cdot 10}\approx 7{,}5 м — совпадает.