ID: 00026374
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\upsilon _{0}$ под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. На какое расстояние d по горизонтали переместятся шарики за время от столкновения шариков до их падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что за ситуация. Один пластилиновый шарик летит с земли под углом $\alpha$ со скоростью $\upsilon_0$, другой такой же в тот же момент начинает падать с высоты без начальной скорости. В воздухе они слипаются, и сразу после слипания их общая скорость горизонтальна. Спрашивают, насколько далеко по горизонтали улетит слипшийся комок до падения на землю.
Значит, нужны две вещи: горизонтальная скорость комка после удара и время его дальнейшего полёта. Разберём их по очереди.
Горизонтальная скорость. Столкновение мгновенное, значит суммарный импульс сохраняется, а сила тяжести за этот миг ничего не меняет. У падающего шарика горизонтальной скорости нет вовсе, у брошенного она равна $\upsilon_0\cos\alpha$ и не меняется за весь полёт. Массы одинаковы, поэтому по горизонтали $m\upsilon_0\cos\alpha=2m\,u_x$, и комок летит вдвое медленнее: $$u_x=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}.$$ Это важная деталь: «лишняя» масса неподвижного по горизонтали шарика ровно вдвое тормозит движение вперёд.
Момент столкновения. Условие «сразу после удара скорость горизонтальна» означает, что вертикальные импульсы шариков погасили друг друга. Пусть удар произошёл в момент $t_1$: у брошенного шарика вертикальная скорость $\upsilon_0\sin\alpha-g t_1$ (вверх), у падающего $g t_1$ (вниз). Их сумма равна нулю: $\upsilon_0\sin\alpha-g t_1-g t_1=0$, откуда $$t_1=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$
Высота столкновения. Считаем по брошенному шарику: $$h=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1-\dfrac{g t_1^2}{2}=\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{2g}-\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}=\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}.$$
Время падения после удара. Вертикальной скорости у комка теперь нет, значит по вертикали это обычное падение из состояния покоя: $h=\dfrac{g t^2}{2}$, откуда $$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{4g^2}}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$
Итог. По горизонтали комок движется равномерно (сопротивления нет), поэтому $$d=u_x\, t=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{4g}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{8g}.$$
Проверим на числах. Возьмём $\upsilon_0=20$ м/с и $\alpha=30^\circ$. Тогда $u_x=\dfrac{20\cdot 0{,}866}{2}\approx 8{,}66$ м/с, удар произошёл через $t_1=0{,}5$ с на высоте $h=3{,}75$ м, падение заняло $t\approx 0{,}87$ с, и $d\approx 8{,}66\cdot 0{,}87\approx 7{,}5$ м. Формула даёт $\dfrac{1{,}732\cdot 400\cdot 0{,}866}{8\cdot 10}\approx 7{,}5$ м — совпадает.