ID: 00026371
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\overset{\to}{\upsilon }_{0}$ под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Сколько времени проходит от столкновения шариков до их падения на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что происходит. В момент $t=0$ один пластилиновый шарик бросают с земли под углом $\alpha$ со скоростью $\upsilon_0$, а другой такой же в тот же момент отпускают без начальной скорости с некоторой высоты. Они летят навстречу и в воздухе слипаются. Сказано, что сразу после слипания скорость комка горизонтальна — это и есть главная зацепка задачи.
Почему при слипании работает сохранение импульса. Столкновение мгновенное: за время удара сила тяжести не успевает изменить импульс, а сопротивления воздуха нет. Шарики одинаковой массы $m$, поэтому скорость комка — просто среднее арифметическое их скоростей перед ударом: $\vec u=\dfrac{\vec\upsilon_1+\vec\upsilon_2}{2}$. Энергия при неупругом ударе не сохраняется, поэтому её и не привлекаем.
Шаг 1 — скорости шариков к моменту столкновения $t_1$. У брошенного: горизонтальная составляющая всё время $\upsilon_0\cos\alpha$, вертикальная — $\upsilon_0\sin\alpha-g t_1$. У падающего: по горизонтали нуль, по вертикали $-g t_1$ (он всё время просто падает).
Шаг 2 — условие «скорость сразу после удара горизонтальна». Вертикальная составляющая скорости комка равна нулю: $$\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha-g t_1)+(-g t_1)}{2}=0\ \Rightarrow\ \upsilon_0\sin\alpha=2g t_1\ \Rightarrow\ t_1=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$ Смысл прозрачен: к моменту удара шарики имеют равные по модулю и противоположные по знаку вертикальные скорости ($\upsilon_0\sin\alpha-gt_1=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2}$ вверх и $gt_1=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha}{2}$ вниз), поэтому они друг друга и гасят.
Шаг 3 — на какой высоте это случилось. Считаем по брошенному шарику: $$h=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1-\dfrac{g t_1^2}{2}=\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{2g}-\dfrac{g}{2}\cdot\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{4g^2}=\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{2g}-\dfrac{(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}=\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}.$$
Шаг 4 — падение после удара. Сразу после столкновения скорость комка горизонтальна, значит по вертикали он начинает падать «с нуля» — как если бы его просто выпустили из руки. Тогда $h=\dfrac{g t^2}{2}$, откуда $$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2}{g}\cdot\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{8g}}=\sqrt{\dfrac{3(\upsilon_0\sin\alpha)^2}{4g^2}}=\dfrac{\sqrt{3}\,\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$
Проверим на числах. Пусть $\upsilon_0=20$ м/с, $\alpha=30^\circ$, тогда $\upsilon_0\sin\alpha=10$ м/с. Столкновение произойдёт через $t_1=0{,}5$ с на высоте $h=\dfrac{3\cdot 100}{80}=3{,}75$ м, а падение займёт $t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}75}{10}}=\sqrt{0{,}75}\approx 0{,}87$ с. Формула даёт $\dfrac{\sqrt{3}\cdot 10}{20}\approx 0{,}87$ с — сходится. Заметь заодно: падение после удара длится в $\sqrt{3}$ раз дольше, чем полёт до удара.