ID: 00026369
Маленький шарик массой m = 0,3 кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной l = 0,9 м, которая разрывается при силе натяжения $T_{0}$ = 6 Н. Шарик отведён от положения равновесия (оно показано на рисунке пунктиром) и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском массой M = 1,5 кг, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Какова скорость u бруска после удара? Считать, что брусок после удара движется поступательно.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет по рисунку. Шарик висит на нити и качается как маятник: его отвели в сторону и отпустили. Проходя нижнюю точку (положение равновесия, показанное пунктиром), он движется быстрее всего — и именно там нить рвётся. Освободившийся шарик тут же врезается в брусок, лежащий на гладком столе, и прилипает к нему (удар абсолютно неупругий). Нужна скорость бруска сразу после удара.
Задача распадается на два независимых куска, и в каждом работает своё.
Часть первая — почему нить рвётся именно внизу и что это даёт. В нижней точке шарик движется по дуге окружности радиуса $l$, поэтому его ускорение направлено к центру, то есть вертикально вверх, и равно $\dfrac{v^2}{l}$. Второй закон Ньютона в проекции на вертикаль: $T-mg=\dfrac{mv^2}{l}$. Натяжение здесь больше веса — нить тянет не только «держать», но и «заворачивать» траекторию. Раз нить рвётся ровно в этот момент, значит $T=T_0=6$ Н.
Шаг 1 — скорость шарика внизу. Из $T_0-mg=\dfrac{mv^2}{l}$ выразим: $$v^2=\dfrac{l\,(T_0-mg)}{m}=\dfrac{0{,}9\cdot(6-0{,}3\cdot 10)}{0{,}3}=\dfrac{0{,}9\cdot 3}{0{,}3}=9\ \text{м²/с²},$$ значит $v=3$ м/с.
Часть вторая — почему при ударе годится закон сохранения импульса, а не энергии. Удар мгновенный: за это время сила тяжести и реакция стола (они вертикальны) не успевают изменить горизонтальный импульс, а поверхность стола гладкая, трения нет. Поэтому горизонтальная составляющая импульса сохраняется. А вот механическая энергия при абсолютно неупругом ударе не сохраняется: часть её уходит на деформацию и нагрев — именно поэтому тела и слипаются.
Шаг 2 — закон сохранения импульса. До удара движется только шарик, после удара шарик и брусок движутся вместе со скоростью $u$: $mv=(m+M)u$.
Шаг 3 — считаем: $$u=\dfrac{mv}{m+M}=\dfrac{0{,}3\cdot 3}{0{,}3+1{,}5}=\dfrac{0{,}9}{1{,}8}=0{,}5\ \text{м/с}.$$
Проверим на здравый смысл. Брусок в пять раз тяжелее шарика, поэтому после слипания скорость должна упасть примерно в шесть раз: $3:6=0{,}5$ м/с — ровно то, что получилось. И заметь: если бы нить была прочнее, шарик разогнался бы сильнее и брусок поехал бы быстрее.