ID: 00026368
Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая – в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на 0,5 МДж. Найдите скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Снаряд массой $4$ кг летит со скоростью $400$ м/с и разрывается на два одинаковых осколка по $2$ кг. Один улетает вперёд, другой — назад. Взрывчатка добавила системе энергии: суммарная кинетическая энергия осколков стала на $0{,}5$ МДж больше, чем была у снаряда. Нужна скорость переднего осколка.
Почему импульс сохраняется, а энергия — нет. Разрыв длится ничтожно малое время, и за это время внешние силы (тяжесть, сопротивление) не успевают дать заметного импульса; внутренние же силы взрыва импульс системы изменить не могут. Поэтому суммарный импульс до и после одинаков. А вот энергия не сохраняется: её добавила химическая энергия взрывчатки — именно на эту прибавку и указано в условии.
Шаг 1 — закон сохранения импульса. Ось направим по движению снаряда. Обозначим $v_1$ и $v_2$ скорости осколков (проекции на ось; у летящего назад проекция будет отрицательной): $Mu=\dfrac{M}{2}v_1+\dfrac{M}{2}v_2$. Масса $\dfrac{M}{2}=2$ кг сокращается: $v_1+v_2=2u=800$ м/с.
Шаг 2 — энергия до разрыва: $E_0=\dfrac{Mu^2}{2}=\dfrac{4\cdot 400^2}{2}=320\,000$ Дж, то есть $0{,}32$ МДж.
Шаг 3 — энергия после разрыва: $E=E_0+\Delta E=320\,000+500\,000=820\,000$ Дж. С другой стороны, $E=\dfrac{2v_1^2}{2}+\dfrac{2v_2^2}{2}=v_1^2+v_2^2$. Значит, $v_1^2+v_2^2=820\,000$.
Шаг 4 — решаем систему. Возведём первое уравнение в квадрат: $(v_1+v_2)^2=v_1^2+2v_1v_2+v_2^2=640\,000$. Вычтем отсюда второе: $2v_1v_2=640\,000-820\,000=-180\,000$, то есть $v_1v_2=-90\,000$. Отрицательное произведение — хороший знак: осколки и правда летят в разные стороны.
Шаг 5 — по теореме Виета $v_1$ и $v_2$ — корни уравнения $z^2-800z-90\,000=0$. Дискриминант: $D=800^2+4\cdot 90\,000=640\,000+360\,000=1\,000\,000$, корень из него $1000$. Тогда $z=\dfrac{800\pm 1000}{2}$, то есть $z_1=900$ и $z_2=-100$.
Шаг 6 — вперёд летит осколок со скоростью $900$ м/с (второй уходит назад со скоростью $100$ м/с).
Проверим коротким способом. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе со снарядом со скоростью $400$ м/с. В ней снаряд до разрыва покоился, а после разрыва одинаковые осколки обязаны разлететься с равными по модулю скоростями $w$ в разные стороны. Вся добавленная энергия — это их кинетическая энергия: $2\cdot\dfrac{2w^2}{2}=500\,000$, откуда $w^2=250\,000$ и $w=500$ м/с. Возвращаемся в исходную систему: $400+500=900$ м/с вперёд и $400-500=-100$ м/с, то есть $100$ м/с назад. Ответы совпали.