ID: 00026368
Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая – в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на 0,5 МДж. Найдите скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Снаряд массой 4 кг летит со скоростью 400 м/с и разрывается на два одинаковых осколка по 2 кг. Один улетает вперёд, другой — назад. Взрывчатка добавила системе энергии: суммарная кинетическая энергия осколков стала на 0{,}5 МДж больше, чем была у снаряда. Нужна скорость переднего осколка.
Почему импульс сохраняется, а энергия — нет. Разрыв длится ничтожно малое время, и за это время внешние силы (тяжесть, сопротивление) не успевают дать заметного импульса; внутренние же силы взрыва импульс системы изменить не могут. Поэтому суммарный импульс до и после одинаков. А вот энергия не сохраняется: её добавила химическая энергия взрывчатки — именно на эту прибавку и указано в условии.
Шаг 1 — закон сохранения импульса. Ось направим по движению снаряда. Обозначим v_1 и v_2 скорости осколков (проекции на ось; у летящего назад проекция будет отрицательной): Mu=\dfrac{M}{2}v_1+\dfrac{M}{2}v_2. Масса \dfrac{M}{2}=2 кг сокращается: v_1+v_2=2u=800 м/с.
Шаг 2 — энергия до разрыва: E_0=\dfrac{Mu^2}{2}=\dfrac{4\cdot 400^2}{2}=320\,000 Дж, то есть 0{,}32 МДж.
Шаг 3 — энергия после разрыва: E=E_0+\Delta E=320\,000+500\,000=820\,000 Дж. С другой стороны, E=\dfrac{2v_1^2}{2}+\dfrac{2v_2^2}{2}=v_1^2+v_2^2. Значит, v_1^2+v_2^2=820\,000.
Шаг 4 — решаем систему. Возведём первое уравнение в квадрат: (v_1+v_2)^2=v_1^2+2v_1v_2+v_2^2=640\,000. Вычтем отсюда второе: 2v_1v_2=640\,000-820\,000=-180\,000, то есть v_1v_2=-90\,000. Отрицательное произведение — хороший знак: осколки и правда летят в разные стороны.
Шаг 5 — по теореме Виета v_1 и v_2 — корни уравнения z^2-800z-90\,000=0. Дискриминант: D=800^2+4\cdot 90\,000=640\,000+360\,000=1\,000\,000, корень из него 1000. Тогда z=\dfrac{800\pm 1000}{2}, то есть z_1=900 и z_2=-100.
Шаг 6 — вперёд летит осколок со скоростью 900 м/с (второй уходит назад со скоростью 100 м/с).
Проверим коротким способом. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе со снарядом со скоростью 400 м/с. В ней снаряд до разрыва покоился, а после разрыва одинаковые осколки обязаны разлететься с равными по модулю скоростями w в разные стороны. Вся добавленная энергия — это их кинетическая энергия: 2\cdot\dfrac{2w^2}{2}=500\,000, откуда w^2=250\,000 и w=500 м/с. Возвращаемся в исходную систему: 400+500=900 м/с вперёд и 400-500=-100 м/с, то есть 100 м/с назад. Ответы совпали.