ID: 00026367
К одному концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости μ = 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см . Найдите массу m груза.
Источник: ФИПИ
Опишем сюжет. Груз лежит на горизонтальной плоскости и прицеплен к пружине, второй конец которой закреплён в стене. Груз оттягивают, растягивая пружину на $d$, и отпускают без толчка. Пружина тянет его назад, он проезжает положение, где пружина не деформирована, продолжает по инерции и останавливается уже там, где пружина сжата. Трение при этом всё время съедает энергию.
Что именно ограничивает растяжение сверху. Пока груз едет, ничего страшного не происходит при любом $d$. Загвоздка в конце: остановившись при сжатой пружине, груз останется стоять, только если пружина не сможет его сдвинуть обратно, то есть если сила упругости не превысит максимальную силу трения покоя. Чем больше начальное растяжение, тем сильнее в итоге окажется сжата пружина, и при слишком большом $d$ груз поедет назад — а по условию он «движется в одном направлении и затем останавливается». Значит, заданное $d=15$ см отвечает предельному случаю: в конце сила упругости в точности равна максимальной силе трения.
Обозначим искомое конечное сжатие $x$. По вертикали груз не движется, поэтому прижимает его к плоскости только сила тяжести: $N=mg$, а сила трения скольжения равна $\mu mg$ и не зависит от того, где именно находится груз.
Шаг 1 — закон сохранения энергии с учётом работы трения. Начальная энергия пружины уходит на энергию сжатой пружины в конце и на работу против трения; путь груза равен $d+x$ (от растяжения $d$ до сжатия $x$): $$\dfrac{kd^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\mu mg\,(d+x).$$
Шаг 2 — упрощаем. Слева и справа сгруппируем: $\dfrac{k}{2}(d^2-x^2)=\mu mg(d+x)$. Разложим разность квадратов: $\dfrac{k}{2}(d-x)(d+x)=\mu mg(d+x)$. Множитель $(d+x)$ не равен нулю, сокращаем: $\dfrac{k}{2}(d-x)=\mu mg$.
Шаг 3 — условие предельного случая: в конечной точке сила упругости равна максимальной силе трения покоя, $kx=\mu mg$.
Шаг 4 — подставляем это во второе равенство: $\dfrac{k}{2}(d-x)=kx$, то есть $d-x=2x$ и $x=\dfrac{d}{3}=\dfrac{0{,}15}{3}=0{,}05$ м.
Шаг 5 — находим массу: из $kx=\mu mg$ получаем $$m=\dfrac{kx}{\mu g}=\dfrac{100\cdot 0{,}05}{0{,}2\cdot 10}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\ \text{кг}.$$
Проверим баланс энергии напрямую. Вначале в пружине $\dfrac{100\cdot 0{,}15^2}{2}=1{,}125$ Дж, в конце $\dfrac{100\cdot 0{,}05^2}{2}=0{,}125$ Дж. Разница $1$ Дж. Трение: $\mu mg=0{,}2\cdot 2{,}5\cdot 10=5$ Н на пути $0{,}15+0{,}05=0{,}2$ м, то есть тоже ровно $1$ Дж. Сходится.