ID: 00026365
Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке касания В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R=0,4 м. Если в точке А скорость шайбы превосходит \upsilon _{0} =4 м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ L=1 м, угол \alpha=30^{\circ}. Найдите коэффициент трения μ между наклонной плоскостью и шайбой.
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Из точки A шайба после удара едет вверх по наклонной плоскости длиной L=1 м с углом наклона \alpha=30^\circ. В верхней точке B наклонная плоскость без излома переходит в наружную (выпуклую) поверхность горизонтальной трубы радиусом R=0{,}4 м. «Без излома» значит, что в точке B поверхность трубы касается плоскости, поэтому радиус трубы, проведённый в B, наклонён к вертикали ровно на тот же угол \alpha.
Что означает фраза про v_0=4 м/с. Если скорость в A больше 4 м/с, шайба в точке B отрывается; значит, при скорости ровно 4 м/с отрыв происходит «в притык» — в точке B шайба ещё касается поверхности, но давит на неё с нулевой силой. Это и есть рабочее условие задачи: при v_A=v_0 реакция опоры в точке B равна нулю.
Почему на выпуклой поверхности возможен отрыв. На выпуклой поверхности центр окружности находится ПОД шайбой, значит центростремительное ускорение направлено вниз-внутрь. Создаёт его разность между составляющей силы тяжести вдоль радиуса и реакцией опоры: mg\cos\alpha-N=\dfrac{mv_B^2}{R}. Чем быстрее едет шайба, тем больше требуется центростремительной силы и тем меньше остаётся на реакцию; когда скорость такова, что тяжести уже впритык хватает, N обращается в нуль — шайба отрывается.
Шаг 1 — скорость в точке B в момент отрыва. Полагаем N=0: mg\cos\alpha=\dfrac{mv_B^2}{R}, откуда v_B^2=gR\cos\alpha=10\cdot 0{,}4\cdot\cos 30^\circ=4\cdot 0{,}866\approx 3{,}46 м²/с².
Шаг 2 — энергетический баланс на участке AB. Трение забирает энергию: работа силы трения равна \mu mg\cos\alpha\cdot L (сила трения — это \mu N, а прижимает шайбу к плоскости составляющая тяжести mg\cos\alpha). Подъём на высоту L\sin\alpha забирает mgL\sin\alpha. Получаем \dfrac{mv_0^2}{2}=\dfrac{mv_B^2}{2}+mgL\sin\alpha+\mu mg L\cos\alpha.
Шаг 3 — масса сокращается, подставляем числа: \dfrac{16}{2}=\dfrac{3{,}46}{2}+10\cdot 1\cdot 0{,}5+\mu\cdot 10\cdot 1\cdot 0{,}866, то есть 8=1{,}73+5+8{,}66\mu.
Шаг 4 — выражаем коэффициент трения: 8{,}66\mu=8-1{,}73-5=1{,}27, откуда \mu=\dfrac{1{,}27}{8{,}66}\approx 0{,}15.
Проверим, разумно ли. Из 8 Дж на килограмм массы 5 ушло на подъём, около 1{,}7 осталось в виде движения, и лишь примерно 1{,}3 съело трение — то есть трение слабенькое, \mu\approx 0{,}15. Это меньше \mathrm{tg}\,30^\circ\approx 0{,}58, значит шайба на такой плоскости сама бы не удержалась и после остановки поехала бы вниз — что согласуется с картиной «шайба разогналась ударом и проскальзывает вверх».