ID: 00026365
Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке касания В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом $R=0,4$ м. Если в точке А скорость шайбы превосходит $\upsilon _{0} =4$ м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ $L=1$ м, угол $\alpha=30^{\circ}.$ Найдите коэффициент трения μ между наклонной плоскостью и шайбой.
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Из точки $A$ шайба после удара едет вверх по наклонной плоскости длиной $L=1$ м с углом наклона $\alpha=30^\circ$. В верхней точке $B$ наклонная плоскость без излома переходит в наружную (выпуклую) поверхность горизонтальной трубы радиусом $R=0{,}4$ м. «Без излома» значит, что в точке $B$ поверхность трубы касается плоскости, поэтому радиус трубы, проведённый в $B$, наклонён к вертикали ровно на тот же угол $\alpha$.
Что означает фраза про $v_0=4$ м/с. Если скорость в $A$ больше $4$ м/с, шайба в точке $B$ отрывается; значит, при скорости ровно $4$ м/с отрыв происходит «в притык» — в точке $B$ шайба ещё касается поверхности, но давит на неё с нулевой силой. Это и есть рабочее условие задачи: при $v_A=v_0$ реакция опоры в точке $B$ равна нулю.
Почему на выпуклой поверхности возможен отрыв. На выпуклой поверхности центр окружности находится ПОД шайбой, значит центростремительное ускорение направлено вниз-внутрь. Создаёт его разность между составляющей силы тяжести вдоль радиуса и реакцией опоры: $mg\cos\alpha-N=\dfrac{mv_B^2}{R}$. Чем быстрее едет шайба, тем больше требуется центростремительной силы и тем меньше остаётся на реакцию; когда скорость такова, что тяжести уже впритык хватает, $N$ обращается в нуль — шайба отрывается.
Шаг 1 — скорость в точке $B$ в момент отрыва. Полагаем $N=0$: $mg\cos\alpha=\dfrac{mv_B^2}{R}$, откуда $v_B^2=gR\cos\alpha=10\cdot 0{,}4\cdot\cos 30^\circ=4\cdot 0{,}866\approx 3{,}46$ м²/с².
Шаг 2 — энергетический баланс на участке $AB$. Трение забирает энергию: работа силы трения равна $\mu mg\cos\alpha\cdot L$ (сила трения — это $\mu N$, а прижимает шайбу к плоскости составляющая тяжести $mg\cos\alpha$). Подъём на высоту $L\sin\alpha$ забирает $mgL\sin\alpha$. Получаем $$\dfrac{mv_0^2}{2}=\dfrac{mv_B^2}{2}+mgL\sin\alpha+\mu mg L\cos\alpha.$$
Шаг 3 — масса сокращается, подставляем числа: $\dfrac{16}{2}=\dfrac{3{,}46}{2}+10\cdot 1\cdot 0{,}5+\mu\cdot 10\cdot 1\cdot 0{,}866$, то есть $8=1{,}73+5+8{,}66\mu$.
Шаг 4 — выражаем коэффициент трения: $8{,}66\mu=8-1{,}73-5=1{,}27$, откуда $\mu=\dfrac{1{,}27}{8{,}66}\approx 0{,}15$.
Проверим, разумно ли. Из $8$ Дж на килограмм массы $5$ ушло на подъём, около $1{,}7$ осталось в виде движения, и лишь примерно $1{,}3$ съело трение — то есть трение слабенькое, $\mu\approx 0{,}15$. Это меньше $\mathrm{tg}\,30^\circ\approx 0{,}58$, значит шайба на такой плоскости сама бы не удержалась и после остановки поехала бы вниз — что согласуется с картиной «шайба разогналась ударом и проскальзывает вверх».