Пробирка массой М = 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой массой m = 10 г и подвешена в горизонтальном положении к штанге на лёгких параллельных нерастяжимых нитях одинаковой длины (см. рисунок). При нагревании пробирки пробка вылетает из неё со скоростью ипсилон равно 4 м/с, а нити, если они достаточно коротки, сразу после этого одновременно обрываются. Найдите максимальную длину нитей L в этом случае, если каждая нить выдерживает нагрузку не более Т _{0} = 0,3 Н. Массу паров эфира считать пренебрежимо малой величиной.

Задание 22 ЕГЭ по физике: Пробирка массой М = 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой…

№2. Задание 22

ID: 00026360

Пробирка массой М = 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой массой m = 10 г и подвешена в горизонтальном положении к штанге на лёгких параллельных нерастяжимых нитях одинаковой длины (см. рисунок). При нагревании пробирки пробка вылетает из неё со скоростью $\upsilon =4$ м/с, а нити, если они достаточно коротки, сразу после этого одновременно обрываются. Найдите максимальную длину нитей L в этом случае, если каждая нить выдерживает нагрузку не более Т _{0} = 0,3 Н. Массу паров эфира считать пренебрежимо малой величиной.

Источник: ФИПИ

Решение

Разберём установку по рисунку. Горизонтальная пробирка подвешена к горизонтальной штанге на двух одинаковых вертикальных нитях длины $L$ — получается «качели», которые могут отклоняться, оставаясь горизонтальными. В пробирке пары эфира, справа она заткнута пробкой. При нагревании пробка вылетает вдоль пробирки со скоростью $v=4$ м/с, а пробирка от отдачи получает скорость в противоположную сторону.

Первый закон — сохранение импульса. Вылет пробки происходит практически мгновенно; за это короткое время нити остаются вертикальными и не успевают дать заметного горизонтального импульса, а сила тяжести вертикальна. Значит, горизонтальная составляющая импульса системы «пробирка + пробка» сохраняется, и из нуля получаем $MV=mv$ , где $V$ — скорость отдачи пробирки. Массой паров эфира пренебрегаем по условию.

Шаг 1 — скорость пробирки: $V=\dfrac{mv}{M}=\dfrac{0{,}01\cdot 4}{0{,}04}=1$ м/с.

Второй закон — динамика движения по окружности. Сразу после выстрела пробирка движется горизонтально, а нити ещё вертикальны. Пробирка на нитях — это маятник: она пойдёт по дуге окружности радиуса $L$ с центром на штанге. В нижней точке дуги ускорение направлено к центру, то есть вертикально ВВЕРХ, и равно $\dfrac{V^2}{L}$ . Именно поэтому нити натянуты сильнее, чем в покое, и могут порваться.

Шаг 2 — второй закон Ньютона для пробирки в проекции на вертикаль (вверх): нитей две, каждая тянет с силой $T$ , вниз тянет сила тяжести: $2T-Mg=\dfrac{MV^2}{L}$ , откуда $T=\dfrac{1}{2}\left(Mg+\dfrac{MV^2}{L}\right)$ .

Шаг 3 — условие обрыва. Нити рвутся, если натяжение достигает предельного: $T\ge T_0$ . Чем короче нити, тем больше $\dfrac{V^2}{L}$ и тем сильнее натяжение — вот почему обрыв происходит только при достаточно коротких нитях, а искомая длина будет наибольшей допустимой.

Шаг 4 — записываем предельный случай $T=T_0$ : $Mg+\dfrac{MV^2}{L}=2T_0$ . Подставляем числа: $0{,}04\cdot 10+\dfrac{0{,}04\cdot 1^2}{L}=2\cdot 0{,}3$ , то есть $0{,}4+\dfrac{0{,}04}{L}=0{,}6$ .

Шаг 5 — решаем: $\dfrac{0{,}04}{L}=0{,}2$ , значит $L=\dfrac{0{,}04}{0{,}2}=0{,}2$ м.

Проверим смысл ответа. При $L=0{,}2$ м «добавка» к натяжению от движения по дуге равна $\dfrac{MV^2}{L}=0{,}2$ Н, а вес пробирки $0{,}4$ Н; вместе $0{,}6$ Н делится между двумя нитями по $0{,}3$ Н — ровно предел. Если нити длиннее, добавка меньше, и они выдержат; значит, $0{,}2$ м — действительно максимальная длина, при которой нити ещё рвутся.

Ответ

0,2 м (20 см)