ID: 00026333
Льдинка находится в яме с гладкими стенками, в которой она может двигаться практически без трения. На рисунке приведён график зависимости потенциальной энергии льдинки от её координаты в яме. В некоторый момент времени льдинка находилась в точке А с координатой x=50 см и двигалась влево, имея кинетическую энергию, равную 2 Дж. Сможет ли льдинка выскользнуть из ямы? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали для объяснения.
Источник: ФИПИ
Что происходит в задаче. Льдинка лежит в яме с гладкими стенками и может кататься по ней почти без трения. На графике показано, как зависит потенциальная энергия льдинки от её координаты x в яме. Читается такой график как «профиль местности»: где кривая идёт выше — там льдинке «в горку», где ниже — там низина. В некоторый момент льдинка находится в точке A с координатой x=50 см и движется влево, а её кинетическая энергия в этот момент равна 2 Дж. Нужно решить, сумеет ли она выбраться из ямы.
Обоснуем метод, которым будем решать, — это здесь главное. В условии сказано, что стенки гладкие и льдинка движется практически без трения. Значит на неё не действуют силы, которые «съедают» энергию, и работает закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной в любой точке пути, E=E_\text{к}+E_\text{п}=\text{const}. Отсюда — ключевое следствие, на котором держится весь ответ. Кинетическая энергия не может быть отрицательной (E_\text{к}=\dfrac{mv^2}{2}\ge0), поэтому льдинка может побывать только в тех точках, где E_\text{п}(x)\le E. Если на пути встречается участок, где потенциальная энергия выше полной, — это непроходимый барьер: льдинка дойдёт до точки, где E_\text{п}=E, там её скорость обратится в нуль, и она повернёт назад.
Шаг 1 — находим полную энергию. По графику в точке A (координата x=50 см) потенциальная энергия равна E_\text{п}=2 Дж. Кинетическая энергия в этот момент по условию тоже 2 Дж. Складываем: E=2+2=4\ \text{Дж}. Это и есть «потолок» потенциальной энергии, доступный льдинке на всём дальнейшем пути.
Шаг 2 — движение влево. Из точки A льдинка катится к дну ямы: потенциальная энергия падает примерно до 1 Дж около x\approx30 см, значит кинетическая там вырастает примерно до 3 Дж — льдинка разгоняется. Дальше начинается подъём по левой стенке. Смотрим на график слева: кривая круто уходит вверх и в районе x\approx5 см достигает почти 5 Дж, то есть превышает наш «потолок» в 4 Дж. Значит слева барьер непроходим.
Шаг 3 — где именно она остановится слева. Найдём по графику точку, в которой E_\text{п}=4 Дж: на крутом левом склоне это примерно x\approx7 см. Там кинетическая энергия обращается в нуль, льдинка на мгновение замирает и, поскольку склон продолжает толкать её обратно в яму, начинает двигаться в обратную сторону — вправо.
Шаг 4 — движение вправо. Возвращаясь, льдинка снова проходит дно, разгоняется, поднимается на прежний уровень в точке A (в ней у неё опять будет 2 Дж кинетической энергии — энергия ведь сохраняется) и продолжает подъём на правый «горб». Смотрим на его высоту по графику: вершина находится примерно при x\approx60 см, и её уровень составляет около 3{,}7 Дж.
Шаг 5 — сравниваем и делаем вывод. Высота правого барьера 3{,}7 Дж меньше полной энергии 4 Дж: E_\text{п,макс}^\text{(справа)}\approx3{,}7\ \text{Дж}\lt E=4\ \text{Дж}. Значит на вершине горба у льдинки останется запас кинетической энергии E_\text{к}=E-E_\text{п}\approx4-3{,}7=0{,}3\ \text{Дж}\gt0, то есть она не остановится, перевалит через вершину и покатится дальше вниз по внешнему склону. Из ямы льдинка выберется — через правый край.
И всё сходится: яма оказалась «несимметричной» — слева стенка выше полной энергии льдинки, а справа ниже. Влево дороги нет, поэтому льдинка сначала отражается от левого склона, а затем уходит вправо.
Да, льдинка выскользнет из ямы — но не влево, а вправо.
Стенки гладкие, трения практически нет, поэтому полная механическая энергия сохраняется: E=E_\text{к}+E_\text{п}=2\ \text{Дж}+2\ \text{Дж}=4\ \text{Дж}. (В точке A при x=50 см по графику E_\text{п}=2 Дж, а кинетическая энергия по условию равна 2 Дж.) Льдинка может оказаться только там, где E_\text{п}\le E, то есть где E_\text{п}\le4 Дж.
Двигаясь влево, льдинка спускается на дно ямы (E_\text{п}\approx1 Дж при x\approx30 см), разгоняется, а затем начинает подниматься по левой стенке. Там потенциальная энергия достигает почти 5 Дж, то есть превышает 4 Дж, поэтому льдинка остановится примерно при x\approx7 см (в точке, где E_\text{п}=4 Дж) и покатится обратно.
Двигаясь после этого вправо, она подходит к правому «горбу», высота которого по графику составляет около 3{,}7 Дж. Так как 3{,}7\ \text{Дж}\lt4\ \text{Дж}, энергии хватает: на вершине у льдинки останется кинетическая энергия примерно 4-3{,}7=0{,}3 Дж, и она перевалит через барьер и выйдет из ямы вправо.