ID: 00026333
Льдинка находится в яме с гладкими стенками, в которой она может двигаться практически без трения. На рисунке приведён график зависимости потенциальной энергии льдинки от её координаты в яме. В некоторый момент времени льдинка находилась в точке А с координатой $x=50$ см и двигалась влево, имея кинетическую энергию, равную 2 Дж. Сможет ли льдинка выскользнуть из ямы? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали для объяснения.
Источник: ФИПИ
Что происходит в задаче. Льдинка лежит в яме с гладкими стенками и может кататься по ней почти без трения. На графике показано, как зависит потенциальная энергия льдинки от её координаты $x$ в яме. Читается такой график как «профиль местности»: где кривая идёт выше — там льдинке «в горку», где ниже — там низина. В некоторый момент льдинка находится в точке $A$ с координатой $x=50$ см и движется влево, а её кинетическая энергия в этот момент равна $2$ Дж. Нужно решить, сумеет ли она выбраться из ямы.
Обоснуем метод, которым будем решать, — это здесь главное. В условии сказано, что стенки гладкие и льдинка движется практически без трения. Значит на неё не действуют силы, которые «съедают» энергию, и работает закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной в любой точке пути, $$E=E_\text{к}+E_\text{п}=\text{const}.$$ Отсюда — ключевое следствие, на котором держится весь ответ. Кинетическая энергия не может быть отрицательной ($E_\text{к}=\dfrac{mv^2}{2}\ge0$), поэтому льдинка может побывать только в тех точках, где $$E_\text{п}(x)\le E.$$ Если на пути встречается участок, где потенциальная энергия выше полной, — это непроходимый барьер: льдинка дойдёт до точки, где $E_\text{п}=E$, там её скорость обратится в нуль, и она повернёт назад.
Шаг 1 — находим полную энергию. По графику в точке $A$ (координата $x=50$ см) потенциальная энергия равна $E_\text{п}=2$ Дж. Кинетическая энергия в этот момент по условию тоже $2$ Дж. Складываем: $$E=2+2=4\ \text{Дж}.$$ Это и есть «потолок» потенциальной энергии, доступный льдинке на всём дальнейшем пути.
Шаг 2 — движение влево. Из точки $A$ льдинка катится к дну ямы: потенциальная энергия падает примерно до $1$ Дж около $x\approx30$ см, значит кинетическая там вырастает примерно до $3$ Дж — льдинка разгоняется. Дальше начинается подъём по левой стенке. Смотрим на график слева: кривая круто уходит вверх и в районе $x\approx5$ см достигает почти $5$ Дж, то есть превышает наш «потолок» в $4$ Дж. Значит слева барьер непроходим.
Шаг 3 — где именно она остановится слева. Найдём по графику точку, в которой $E_\text{п}=4$ Дж: на крутом левом склоне это примерно $x\approx7$ см. Там кинетическая энергия обращается в нуль, льдинка на мгновение замирает и, поскольку склон продолжает толкать её обратно в яму, начинает двигаться в обратную сторону — вправо.
Шаг 4 — движение вправо. Возвращаясь, льдинка снова проходит дно, разгоняется, поднимается на прежний уровень в точке $A$ (в ней у неё опять будет $2$ Дж кинетической энергии — энергия ведь сохраняется) и продолжает подъём на правый «горб». Смотрим на его высоту по графику: вершина находится примерно при $x\approx60$ см, и её уровень составляет около $3{,}7$ Дж.
Шаг 5 — сравниваем и делаем вывод. Высота правого барьера $3{,}7$ Дж меньше полной энергии $4$ Дж: $$E_\text{п,макс}^\text{(справа)}\approx3{,}7\ \text{Дж}\lt E=4\ \text{Дж}.$$ Значит на вершине горба у льдинки останется запас кинетической энергии $$E_\text{к}=E-E_\text{п}\approx4-3{,}7=0{,}3\ \text{Дж}\gt0,$$ то есть она не остановится, перевалит через вершину и покатится дальше вниз по внешнему склону. Из ямы льдинка выберется — через правый край.
И всё сходится: яма оказалась «несимметричной» — слева стенка выше полной энергии льдинки, а справа ниже. Влево дороги нет, поэтому льдинка сначала отражается от левого склона, а затем уходит вправо.
Да, льдинка выскользнет из ямы — но не влево, а вправо.
Стенки гладкие, трения практически нет, поэтому полная механическая энергия сохраняется: $$E=E_\text{к}+E_\text{п}=2\ \text{Дж}+2\ \text{Дж}=4\ \text{Дж}.$$ (В точке $A$ при $x=50$ см по графику $E_\text{п}=2$ Дж, а кинетическая энергия по условию равна $2$ Дж.) Льдинка может оказаться только там, где $E_\text{п}\le E$, то есть где $E_\text{п}\le4$ Дж.
Двигаясь влево, льдинка спускается на дно ямы ($E_\text{п}\approx1$ Дж при $x\approx30$ см), разгоняется, а затем начинает подниматься по левой стенке. Там потенциальная энергия достигает почти $5$ Дж, то есть превышает $4$ Дж, поэтому льдинка остановится примерно при $x\approx7$ см (в точке, где $E_\text{п}=4$ Дж) и покатится обратно.
Двигаясь после этого вправо, она подходит к правому «горбу», высота которого по графику составляет около $3{,}7$ Дж. Так как $3{,}7\ \text{Дж}\lt4\ \text{Дж}$, энергии хватает: на вершине у льдинки останется кинетическая энергия примерно $4-3{,}7=0{,}3$ Дж, и она перевалит через барьер и выйдет из ямы вправо.