ID: 00026329
Пирамидка № 1 Пирамидка № 2 Два деревянных кольца детских пирамидок № 1 и № 2, способных без трения скользить по оси, соединили с основаниями двумя одинаковыми лёгкими пружинками (см. рисунок). Пирамидку № 2 поместили в прочный сосуд с водой, прикрепив основание к его дну. Обе пирамидки покоятся относительно Земли. Как изменится по сравнению с этим случаем (увеличится, уменьшится или останется прежней) длина пружин пирамидок № 1 и № 2 во время свободного падения с балкона высокого дома? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали для объяснения.
Источник: ФИПИ
Что происходит в опыте. У обеих пирамидок деревянное кольцо надето на вертикальную ось и может по ней свободно (без трения) двигаться, а снизу его держит лёгкая пружинка, прикреплённая к основанию. Пирамидка № 1 стоит просто на балконе, в воздухе. Пирамидка № 2 целиком опущена в прочный сосуд с водой, основание закреплено на дне. Обе спокойно стоят, а потом их роняют с балкона — начинается свободное падение. Вопрос: что станет с длиной каждой пружины по сравнению с этим спокойным состоянием.
Обоснуем главный приём. Пружина лёгкая, поэтому сила упругости на обоих её концах одинакова и определяется только деформацией: по закону Гука $F_\text{упр}=k|\Delta l|$. Значит вопрос «что стало с длиной» — это на самом деле вопрос «что стало с силой упругости». А силу упругости мы найдём из второго закона Ньютона, записанного для кольца. Свободное падение — это движение под действием одной только силы тяжести с ускорением $\vec a=\vec g$, причём с этим ускорением падает всё: и ось, и основание, и кольцо, и сам сосуд, и вода в нём. Сопротивлением воздуха по условию пренебрегаем.
Шаг 1 — какой была пружина у пирамидки № 1 до падения. Кольцо покоится, на него действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила упругости пружины. Значит пружина держит кольцо снизу и сжата, а её сила равна $F_\text{упр}=mg$ и направлена вверх.
Шаг 2 — пирамидка № 1 в падении. Записываем второй закон Ньютона для кольца: $$m\vec a=m\vec g+\vec F_\text{упр}.$$ Но кольцо падает свободно вместе со всей пирамидкой, то есть $\vec a=\vec g$. Подставляем: $m\vec g=m\vec g+\vec F_\text{упр}$, откуда $$\vec F_\text{упр}=0.$$ Сила упругости обратилась в нуль, значит по закону Гука деформация тоже равна нулю: пружина распрямляется до своей естественной длины. Была сжата — стала свободной, следовательно её длина увеличилась. Это знакомое явление невесомости: падающее кольцо «ничего не весит» и перестаёт давить на пружину.
Шаг 3 — какой была пружина у пирамидки № 2 до падения. Здесь к кольцу добавляется сила Архимеда, направленная вверх и равная $F_\text{А}=\rho_\text{в}gV$, где $V$ — объём кольца. Дерево легче воды, то есть $\rho_\text{д}\lt\rho_\text{в}$, поэтому $$F_\text{А}=\rho_\text{в}gV\gt\rho_\text{д}gV=mg.$$ Выталкивающая сила пересиливает вес, кольцо стремится всплыть, и удерживает его пружина — значит она растянута, а её сила направлена вниз и равна $F_\text{упр}=\rho_\text{в}gV-mg$.
Шаг 4 — что делается с силой Архимеда при свободном падении. Выталкивающая сила существует не «сама по себе»: она возникает из-за того, что давление в покоящейся жидкости растёт с глубиной ($p=p_0+\rho_\text{в}gh$), и снизу на тело давит сильнее, чем сверху. Но в свободно падающем сосуде вся вода движется с ускорением $g$, и удерживать её перепаду давления больше не нужно — перепад исчезает, давление становится одинаковым во всём объёме. Формально: в падающей системе роль $g$ играет разность $g-a=0$, поэтому $$F_\text{А}=\rho_\text{в}(g-a)V=0.$$ Архимедова сила пропадает — это та же невесомость, только для жидкости.
Шаг 5 — пирамидка № 2 в падении. Второй закон Ньютона для кольца: $$m\vec a=m\vec g+\vec F_\text{А}+\vec F_\text{упр}.$$ Подставляем $\vec a=\vec g$ и $\vec F_\text{А}=0$ и снова получаем $\vec F_\text{упр}=0$. Пружина возвращается к естественной длине. Но была она растянутой, значит теперь её длина уменьшилась.
И всё сходится: в невесомости обе пружины «отпускает» — они принимают одну и ту же ненагруженную длину. Просто в воздухе пружину до этого сжимал вес кольца, а в воде растягивала выталкивающая сила, поэтому изменения длины получились в разные стороны.
Длина пружины пирамидки № 1 увеличится, длина пружины пирамидки № 2 уменьшится. В обоих случаях во время свободного падения пружина перестанет быть деформированной и примет свою естественную длину.
Обоснование: при свободном падении вся система движется с ускорением $\vec a=\vec g$. Для кольца пирамидки № 1 второй закон Ньютона даёт $m\vec a=m\vec g+\vec F_\text{упр}$, и при $\vec a=\vec g$ получаем $\vec F_\text{упр}=0$. До падения кольцо покоилось, опираясь на пружину, поэтому пружина была сжата ($F_\text{упр}=mg$); теперь деформация исчезает, и длина пружины растёт.
У пирамидки № 2 в покое на деревянное кольцо действовала ещё и сила Архимеда, которая больше силы тяжести (плотность дерева меньше плотности воды), поэтому кольцо тянуло вверх и пружина была растянута ($F_\text{упр}=\rho_\text{в}gV-mg$). При свободном падении сосуд с водой падает как целое, гидростатическое давление в воде перестаёт зависеть от глубины и выталкивающая сила обращается в нуль: $F_\text{А}=\rho_\text{в}aV=0$ при отсутствии относительного веса. Уравнение $m\vec a=m\vec g+\vec F_\text{А}+\vec F_\text{упр}$ при $\vec a=\vec g$ и $\vec F_\text{А}=0$ снова даёт $\vec F_\text{упр}=0$: растяжение исчезает, и длина пружины уменьшается.