Задание ЕГЭ по физике: На горизонтальный диск радиусом 1 м кладут небольшую шайбу на…
№2. Задание без номера
ID: 00026327
На горизонтальный диск радиусом 1 м кладут небольшую шайбу на расстоянии 80 см от его центра. Затем диск плавно раскручивают относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, до угловой скорости ω _{1} = 2 рад/с. Эксперимент повторяют, раскручивая диск до угловой скорости ω _{2} = 1,5 рад/с. Коэффициент трения между поверхностью диска и шайбой равен 0,4. Для каждого опыта определите, начнёт ли шайба скользить по диску во время его раскручивания. Ответ поясните, опираясь на законы механики.
Источник: ФИПИ
Решение
Разберём сюжет. На горизонтальный диск на расстоянии r=80 см =0{,}8 м от центра положили шайбу, а потом диск начали медленно раскручивать вокруг вертикальной оси. Пока шайба не проскальзывает, она вращается вместе с диском, то есть движется по окружности того же радиуса с той же угловой скоростью. В первом опыте диск довели до \omega_1=2 рад/с, во втором — до \omega_2=1{,}5 рад/с. Коэффициент трения между шайбой и диском \mu=0{,}4. Вопрос — сорвётся ли шайба.
Теперь обоснуем модель, по которой считаем, — это ключевая часть решения. Шайба маленькая, поэтому её считаем материальной точкой и работаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Пока проскальзывания нет, шайба движется по окружности. Слово «плавно» в условии означает, что раскручивают медленно, то есть угловая скорость нарастает почти незаметно и касательным (тангенциальным) ускорением можно пренебречь: остаётся только центростремительное ускорение, направленное к оси вращения, a=\omega^2 r. На шайбу действуют три силы: сила тяжести mg вниз, нормальная реакция диска N вверх и сила трения со стороны поверхности диска, лежащая в горизонтальной плоскости. По вертикали шайба не движется, поэтому N=mg. По горизонтали ускорение создаёт только трение — больше горизонтальных сил нет. Пока шайба не скользит, это сила трения покоя, и она подстраивается под нужную величину, но лишь до предела F_\text{тр,макс}=\mu N=\mu mg. Как только требуемая сила превысит этот предел, трения покоя не хватит и начнётся проскальзывание.
Шаг 1 — записываем условие «шайба не скользит». По второму закону Ньютона в проекции на направление к центру: F_\text{тр}=ma=m\omega^2r. Скольжения нет, пока эта сила укладывается в предел: m\omega^2r\le\mu mg. Масса сокращается — значит ответ вообще не зависит от того, тяжёлая шайба или лёгкая. Остаётся условие \omega^2r\le\mu g, или, что то же самое, требуемое ускорение \omega^2r не должно превышать \mu g.
Шаг 2 — считаем предельное ускорение. Оно одно и то же в обоих опытах: \mu g=0{,}4\cdot10=4\ \text{м/с}^2. Это «потолок» ускорения, который трение способно обеспечить.
Шаг 3 — первый опыт. Требуемое ускорение a_1=\omega_1^2r=2^2\cdot0{,}8=4\cdot0{,}8=3{,}2\ \text{м/с}^2. Сравниваем: 3{,}2\ \text{м/с}^2\lt4\ \text{м/с}^2. Трения покоя хватает с запасом — шайба скользить не начнёт.
Шаг 4 — второй опыт. Здесь угловая скорость меньше, а ускорение зависит от неё квадратично: a_2=\omega_2^2r=1{,}5^2\cdot0{,}8=2{,}25\cdot0{,}8=1{,}8\ \text{м/с}^2. И тем более 1{,}8\ \text{м/с}^2\lt4\ \text{м/с}^2 — шайба остаётся на месте относительно диска.
Шаг 5 — заодно найдём, при какой скорости шайба всё-таки сорвалась бы. Из условия \omega^2r=\mu g получаем \omega_\text{пред}=\sqrt{\frac{\mu g}{r}}=\sqrt{\frac{0{,}4\cdot10}{0{,}8}}=\sqrt5\approx2{,}24\ \text{рад/с}. Обе заданные скорости меньше этого порога, причём первая — совсем немного, а вторая — с большим запасом. Отметим и то, что радиус диска 1 м в расчёт не входит: важно лишь, на каком расстоянии от оси лежит сама шайба.
И всё сходится: чем быстрее вращение, тем большее ускорение требуется удержать трению; порог наступает около 2{,}24 рад/с, а оба опыта до него не дотягивают.
Ответ
Ни в одном из двух опытов шайба скользить не начнёт.
Обоснование: шайба движется по окружности радиуса r=0{,}8 м, и единственная сила, которая может сообщить ей центростремительное ускорение, — сила трения покоя со стороны диска. По второму закону Ньютона нужная сила равна F=ma=m\omega^2r, а сила трения покоя не может превысить F_\text{тр,макс}=\mu N=\mu mg. Значит скольжение не начнётся, пока m\omega^2r\le\mu mg\quad\Longleftrightarrow\quad \omega\le\sqrt{\frac{\mu g}{r}}=\sqrt{\frac{0{,}4\cdot10}{0{,}8}}=\sqrt5\approx2{,}24\ \text{рад/с}. Оба значения меньше этого порога: \omega_1=2 рад/с и \omega_2=1{,}5 рад/с. В числах: требуемое ускорение a_1=\omega_1^2r=4\cdot0{,}8=3{,}2 м/с² и a_2=\omega_2^2r=2{,}25\cdot0{,}8=1{,}8 м/с², а максимально возможное ускорение от трения \mu g=0{,}4\cdot10=4 м/с². Оба меньше 4 м/с², поэтому трения покоя хватает в обоих опытах.