ID: 00026328
Маленький шарик, подвешенный к потолку на лёгкой нерастяжимой нити, совершает колебания в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение нити от вертикали составляет угол \alpha=60^{\circ}. Сделайте рисунок с указанием сил, приложенных к шарику в тот момент, когда шарик движется вправо-вверх, а нить образует угол \beta=30^{\circ} с вертикалью (см. рисунок). Покажите на рисунке, куда направлено в этот момент ускорение шарика (по нити, перпендикулярно нити, внутрь траектории, наружу от траектории). Ответ обоснуйте. Сопротивление воздуха не учитывать.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. Шарик подвешен к потолку на лёгкой нерастяжимой нити и качается в вертикальной плоскости, максимально отклоняясь на угол \alpha=60^{\circ}. Нас просят рассмотреть момент, когда нить отклонена на \beta=30^{\circ} от вертикали, а шарик движется вправо-вверх, то есть уходит от положения равновесия к правому крайнему положению. Сопротивления воздуха нет.
Сначала — рисунок сил. К шарику приложены ровно две силы. Первая — сила тяжести m\vec g, она всегда направлена вертикально вниз. Вторая — сила натяжения нити \vec T, она направлена вдоль нити от шарика к точке подвеса (нить может только тянуть, толкать она не умеет). Сопротивления воздуха нет, значит третьей силы на рисунке быть не должно. Именно эти два вектора и надо изобразить исходящими из шарика.
Теперь обоснуем модель, по которой ищем ускорение. Нить нерастяжимая, значит расстояние от шарика до точки подвеса постоянно и равно длине нити L: шарик движется по дуге окружности радиуса L. Для движения по окружности ускорение всегда удобно раскладывать на две взаимно перпендикулярные части: нормальную (центростремительную) — вдоль радиуса к центру окружности, то есть вдоль нити к точке подвеса, и тангенциальную — по касательной к траектории. Первая отвечает за поворот вектора скорости, вторая — за изменение его модуля: a_n=\frac{v^2}{L},\qquad a_\tau=\frac{\Delta v}{\Delta t}. По второму закону Ньютона m\vec a=m\vec g+\vec T, поэтому обе составляющие ускорения создаются равнодействующей этих двух сил.
Шаг 1 — есть ли нормальная составляющая. Она равна нулю только тогда, когда скорость равна нулю, то есть в крайних точках качания. Крайнее положение — это \alpha=60^{\circ}, а мы рассматриваем момент \beta=30^{\circ}: шарик ещё в пути, его скорость не равна нулю. Значит a_n=\frac{v^2}{L}\ne0, и эта часть ускорения направлена вдоль нити к точке подвеса. Кстати, отсюда сразу следует, что натяжение больше проекции силы тяжести на нить: T-mg\cos\beta=\dfrac{mv^2}{L}\gt0.
Шаг 2 — есть ли тангенциальная составляющая. Разложим силу тяжести на две части: вдоль нити (mg\cos\beta, направлена от точки подвеса) и по касательной (mg\sin\beta). Сила натяжения целиком лежит вдоль нити и в касательное направление ничего не даёт. Значит по касательной работает только составляющая силы тяжести: a_\tau=g\sin\beta=g\sin30^{\circ}=\frac{g}{2}\ne0. Направлена она по касательной в сторону положения равновесия, то есть вниз-влево вдоль дуги. А шарик в этот момент движется вверх-вправо — то есть тангенциальное ускорение направлено против скорости, шарик тормозится. Это логично: он поднимается и обменивает кинетическую энергию на потенциальную.
Шаг 3 — складываем. Обе составляющие отличны от нуля, значит полное ускорение не совпадает ни с одной из них по отдельности: оно не направлено ни строго вдоль нити (это была бы чистая нормальная составляющая), ни строго перпендикулярно нити (это была бы чистая тангенциальная). Вектор \vec a=\vec a_n+\vec a_\tau лежит внутри прямого угла между ними. Поскольку нормальная составляющая смотрит к центру окружности, суммарный вектор тоже отклонён в сторону центра — то есть в сторону вогнутой стороны дуги. Значит ускорение направлено внутрь траектории. На рисунке его надо изобразить из шарика стрелкой, идущей вверх-влево: между направлением на точку подвеса и касательной, направленной вниз к положению равновесия.
И всё сходится: пока шарик не в крайней точке, поворачивать его скорость нужно всегда, значит «к центру» ускорение смотрит обязательно; а раз он ещё и тормозится на подъёме, добавляется касательная часть — и суммарная стрелка уходит внутрь дуги.
На рисунке к шарику приложены две силы: сила тяжести m\vec g — вертикально вниз, и сила натяжения нити \vec T — вдоль нити от шарика к точке подвеса.
Ускорение шарика в этот момент направлено внутрь траектории — то есть в сторону вогнутой стороны дуги, под некоторым углом к нити (ни строго по нити, ни строго перпендикулярно ей).
Обоснование: ускорение раскладывается на нормальную (центростремительную) и тангенциальную составляющие. Нормальная равна a_n=\dfrac{v^2}{L} и направлена вдоль нити к точке подвеса; она не равна нулю, потому что при \beta=30^{\circ} шарик ещё не дошёл до крайнего положения \alpha=60^{\circ}, а значит его скорость не равна нулю. Тангенциальная равна a_\tau=g\sin\beta\ne0 и направлена по касательной в сторону положения равновесия, то есть против скорости (шарик поднимается и потому тормозится). Сумма ненулевой составляющей «к центру» и ненулевой составляющей «по касательной» даёт вектор, лежащий внутри угла между ними, — он смотрит внутрь траектории.