ID: 00017573
Поезд № 28 Симферополь–Москва выехал на керченской стороне из туннеля со скоростью $72$ км/час и далее двигался по прямому участку пути, ускорившись до $90$ км/час за время $t_1=2$ мин. Затем он проехал с этой скоростью за время $t_2=2$ мин по путепроводу над автомобильной трассой «Таврида», повернув налево по дуге радиусом $R=2$ км. Далее поезд на прямом участке пути за время $t_3=4$ мин затормозил и остановился на $t_4=5$ мин на станции Керчь-Южная. Постройте график зависимости модуля ускорения $a$ поезда (в м/с²) от времени, отсчитанного в минутах от $0$ на выезде из туннеля до конца промежутка $t_4$. Возле каждого участка графика надпишите словами, куда был направлен вектор ускорения поезда относительно направления его скорости (вперёд, назад, направо, налево). Ускорения на разных участках пути считайте постоянными, а сам поезд — материальной точкой.
Источник: ФИПИ
Ускорение — это «скорость изменения скорости». На прямых участках меняется только величина скорости, поэтому ускорение направлено вдоль движения (вперёд при разгоне, назад при торможении). На повороте величина скорости не меняется, но меняется её направление — значит, есть центростремительное ускорение, направленное к центру дуги (для левого поворота — налево). Переведём все скорости в м/с и времена в секунды и посчитаем по участкам. Главное правило: ускорение постоянной величины на каждом участке, поэтому график — это «ступеньки».
$v_0=72\ \text{км/ч}=20\ \text{м/с}$;
$v_1=90\ \text{км/ч}=25\ \text{м/с}$;
$t_1=2\ \text{мин}=120\ \text{с}$;
$t_2=2\ \text{мин}=120\ \text{с}$, $R=2\ \text{км}=2000\ \text{м}$;
$t_3=4\ \text{мин}=240\ \text{с}$;
$t_4=5\ \text{мин}$ (стоянка).
Скорость растёт равномерно от $20$ до $25$ м/с. Модуль ускорения:
$$a_1=\dfrac{v_1-v_0}{t_1}=\dfrac{25-20}{120}\approx 0{,}042\ \text{м/с}^2.$$
Направление — вперёд (вдоль скорости, ведь поезд разгоняется).
Величина скорости не меняется ($v=25$ м/с), но траектория — дуга радиусом $R=2000$ м. Появляется центростремительное ускорение:
$$a_2=\dfrac{v^{2}}{R}=\dfrac{25^{2}}{2000}=\dfrac{625}{2000}\approx 0{,}31\ \text{м/с}^2.$$
Направление — к центру дуги, то есть налево (поезд поворачивает налево).
Скорость падает от $25$ м/с до нуля за $t_3=240$ с. Модуль ускорения:
$$a_3=\dfrac{v_1-0}{t_3}=\dfrac{25}{240}\approx 0{,}10\ \text{м/с}^2.$$
Направление — назад (против скорости, ведь поезд тормозит).
Поезд стоит, скорость не меняется, поэтому
$$a_4=0.$$
По горизонтали — время в минутах от $0$ до $13$, по вертикали — модуль ускорения в м/с². График ступенчатый: на $0$–$2$ мин горизонтальная полка на уровне $\approx 0{,}042$ (подпись «вперёд»); на $2$–$4$ мин — полка на уровне $\approx 0{,}31$ (подпись «налево», это самая высокая ступенька); на $4$–$8$ мин — полка на уровне $\approx 0{,}10$ (подпись «назад»); на $8$–$13$ мин — линия по нулю (поезд стоит).
$a_1\approx 0{,}042\ \text{м/с}^2$ (вперёд), $a_2\approx 0{,}31\ \text{м/с}^2$ (налево), $a_3\approx 0{,}10\ \text{м/с}^2$ (назад), $a_4=0$.
График модуля ускорения по участкам:
0–2 мин: $a_1\approx 0{,}042\ \text{м/с}^2$ — ускорение направлено вперёд (по скорости, разгон);
2–4 мин: $a_2\approx 0{,}31\ \text{м/с}^2$ — направлено налево (центростремительное, к центру поворота);
4–8 мин: $a_3\approx 0{,}10\ \text{м/с}^2$ — направлено назад (против скорости, торможение);
8–13 мин: $a_4=0$ — поезд стоит.