Механика (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026330

Устройство обеих пирамидок одинаковое: деревянное кольцо надето на вертикальную ось, скользит по ней без трения, а снизу к основанию пирамидки его притягивает лёгкая пружинка. Разница только в окружении. Пирамидка № 1 стоит в воздухе. Пирамидка № 2 полностью погружена в сосуд с глицерином, а её основание прикреплено ко дну сосуда, так что сосуд, пирамидка и глицерин — единое целое. Обе конструкции покоятся, а затем их сбрасывают с балкона; сопротивление воздуха не учитываем. Нужно сравнить длины пружин в полёте с длинами в покое.

Начнём с инструмента, который решает всю задачу. Пружина лёгкая, поэтому её сила определяется только деформацией — по закону Гука $F_\text{упр}=k|\Delta l|$. Значит длина пружины меняется ровно тогда и настолько, насколько меняется сила упругости. А силу упругости мы каждый раз получим из второго закона Ньютона для кольца. Ключевая особенность свободного падения: под действием одной лишь силы тяжести все тела — и кольцо, и ось, и сосуд, и жидкость внутри него — получают одно и то же ускорение $\vec a=\vec g$, независимо от массы. Это и есть невесомость.

Шаг 1 — общий вывод для любого кольца в полёте. Пусть на кольцо, кроме силы тяжести, действуют пружина и, возможно, жидкость. Запишем второй закон Ньютона: $$m\vec a=m\vec g+\vec F_\text{упр}+\vec F_\text{А}.$$ В свободном падении $\vec a=\vec g$, поэтому слева и справа стоит одно и то же $m\vec g$, и остаётся $$\vec F_\text{упр}+\vec F_\text{А}=0.$$ Дальше всё зависит от того, чему равна архимедова сила.

Шаг 2 — пирамидка № 1 в покое. В воздухе выталкивающей силой пренебрегаем. Кольцо покоится, значит пружина уравновешивает его вес: она подпирает кольцо снизу и потому сжата, причём $F_\text{упр}=mg$.

Шаг 3 — пирамидка № 1 в полёте. Архимедовой силы нет, поэтому из соотношения шага 1 сразу получаем $\vec F_\text{упр}=0$. Нулевая сила по закону Гука означает нулевую деформацию: сжатие исчезает, пружина распрямляется до естественной длины. Была короче естественной — стала естественной, значит длина увеличилась. Проще говоря, падающее кольцо перестаёт давить на пружину, потому что в невесомости оно ничего не весит.

Шаг 4 — пирамидка № 2 в покое. Здесь на погружённое кольцо действует ещё и выталкивающая сила глицерина $F_\text{А}=\rho_\text{г}gV$, где $V$ — объём кольца. По условию плотность глицерина больше плотности дерева, поэтому $$F_\text{А}=\rho_\text{г}gV\gt\rho_\text{д}gV=mg.$$ Выталкивание сильнее веса — кольцо тянет вверх, и удержать его может только пружина. Значит пружина растянута, её сила направлена вниз и равна $F_\text{упр}=\rho_\text{г}gV-mg$.

Шаг 5 — куда девается архимедова сила при падении. Выталкивающая сила берётся из того, что в покоящейся жидкости давление растёт с глубиной по закону $p=p_0+\rho_\text{г}gh$, и снизу на тело давит сильнее, чем сверху. Но когда сосуд падает свободно, глицерин не нужно ни на чём «держать»: каждый его слой и так движется с ускорением $g$, и перепад давления по глубине пропадает — давление выравнивается. Формально роль ускорения свободного падения играет разность $g-a$, а она равна нулю: $$F_\text{А}=\rho_\text{г}(g-a)V=\rho_\text{г}(g-g)V=0.$$ Жидкость в невесомости перестаёт выталкивать.

Шаг 6 — пирамидка № 2 в полёте. Подставляем $\vec F_\text{А}=0$ в соотношение шага 1 и получаем $\vec F_\text{упр}=0$: пружина снова становится недеформированной. Но исходно она была растянута, то есть длиннее естественной, значит теперь её длина уменьшилась.

И всё сходится: в полёте обе пружины приходят к одной и той же ненагруженной длине. До этого одну из них укорачивал вес кольца, а другую удлиняло выталкивание глицерина — поэтому и изменения оказались противоположными.