Механика (нет в… — Задание 21 ЕГЭ по физике №00017603

Идея

Земля круглая, поэтому наблюдатель видит море не бесконечно далеко, а только до линии горизонта — там луч зрения «уходит по касательной» от поверхности шара. Чем выше глаз наблюдателя, тем дальше отодвигается эта касательная точка. Нужно сравнить дальность горизонта с мостика и с верхушки мачты.

Геометрия горизонта

Пусть глаз наблюдателя на высоте $h$ над поверхностью моря, радиус Земли $R$. Луч зрения касается поверхности, поэтому радиус в точке касания перпендикулярен лучу — получается прямоугольный треугольник с гипотенузой $R+h$. По теореме Пифагора расстояние до горизонта:

$d = \sqrt{(R+h)^2 - R^2} = \sqrt{2Rh + h^2}.$

Упрощение

В условии сказано, что радиус Земли гораздо больше высоты ($R \gg h$), поэтому слагаемым $h^2$ по сравнению с $2Rh$ можно пренебречь:

$d \approx \sqrt{2Rh}.$

Главный вывод: дальность горизонта растёт пропорционально корню из высоты, $d \propto \sqrt{h}$.

Сравнение двух высот

Высота выросла в 4 раза: $h_2 = 4h_1$. Тогда отношение расстояний:

$\dfrac{d_2}{d_1} = \sqrt{\dfrac{h_2}{h_1}} = \sqrt{4} = 2.$