ID: 00017603
Капитан парусного корабля в открытом море не обнаружил в пределах видимости (до горизонта) ни одного клочка земли. Тогда он послал юнгу оглядеться с самого верха грот-мачты, который находился над уровнем моря в 4 раза выше, чем капитанский мостик. Во сколько раз при этом увеличилось расстояние до крайней точки поверхности моря, которую ещё можно было видеть? Считайте, что радиус Земли гораздо больше высоты мачты.
Источник: ФИПИ
Земля круглая, поэтому наблюдатель видит море не бесконечно далеко, а только до линии горизонта — там луч зрения «уходит по касательной» от поверхности шара. Чем выше глаз наблюдателя, тем дальше отодвигается эта касательная точка. Нужно сравнить дальность горизонта с мостика и с верхушки мачты.
Пусть глаз наблюдателя на высоте $h$ над поверхностью моря, радиус Земли $R$. Луч зрения касается поверхности, поэтому радиус в точке касания перпендикулярен лучу — получается прямоугольный треугольник с гипотенузой $R+h$. По теореме Пифагора расстояние до горизонта:
$d = \sqrt{(R+h)^2 - R^2} = \sqrt{2Rh + h^2}.$
В условии сказано, что радиус Земли гораздо больше высоты ($R \gg h$), поэтому слагаемым $h^2$ по сравнению с $2Rh$ можно пренебречь:
$d \approx \sqrt{2Rh}.$
Главный вывод: дальность горизонта растёт пропорционально корню из высоты, $d \propto \sqrt{h}$.
Высота выросла в 4 раза: $h_2 = 4h_1$. Тогда отношение расстояний:
$\dfrac{d_2}{d_1} = \sqrt{\dfrac{h_2}{h_1}} = \sqrt{4} = 2.$
В 2 раза.