ID: 00019474
Один радиолюбитель постоянно слушал свою любимую радиостанцию, вещающую на длине волны $\lambda=3{,}29$ м в диапазоне FM. Однажды передатчик этой радиостанции испортился, и она перешла на резервный передатчик, работающий в диапазоне УКВ на частоте $73{,}82$ МГц. Радиолюбитель решил перестроить входной контур своего радиоприёмника на эту частоту, для чего он в два раза увеличил индуктивность катушки контура, вставив в неё ферромагнитный сердечник большего размера. Настройка на нужную частоту у него при этом сразу не получилась, и пришлось вдобавок немного уменьшить ёмкость конденсатора в контуре. На сколько процентов была уменьшена ёмкость этого конденсатора для точной настройки приёмника на новую частоту?
Источник: ФИПИ
Приёмник «слышит» станцию, когда собственная частота его контура совпадает с частотой станции. Собственную частоту задаёт формула Томсона, поэтому всё сведётся именно к ней.
Старую частоту получаем из длины волны: $f_1=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3\cdot10^8}{3{,}29}\approx91{,}2$ МГц. Новая дана сразу: $f_2=73{,}82$ МГц.
$f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, значит $f^2$ обратно пропорционально произведению $LC$. Запишем отношение для двух настроек: $\dfrac{f_1^2}{f_2^2}=\dfrac{L_2 C_2}{L_1 C_1}$.
Так как $L_2=2L_1$, получаем $\dfrac{f_1^2}{f_2^2}=2\cdot\dfrac{C_2}{C_1}$, откуда $\dfrac{C_2}{C_1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot(1{,}235)^2\approx0{,}763$.
Осталось примерно $76{,}3\,\%$ ёмкости, значит её уменьшили на $1-0{,}763=0{,}237$, то есть примерно на $23{,}7\,\%$.
$\approx 23{,}7\,\%$