ID: 00019474
Один радиолюбитель постоянно слушал свою любимую радиостанцию, вещающую на длине волны \lambda=3{,}29 м в диапазоне FM. Однажды передатчик этой радиостанции испортился, и она перешла на резервный передатчик, работающий в диапазоне УКВ на частоте 73{,}82 МГц. Радиолюбитель решил перестроить входной контур своего радиоприёмника на эту частоту, для чего он в два раза увеличил индуктивность катушки контура, вставив в неё ферромагнитный сердечник большего размера. Настройка на нужную частоту у него при этом сразу не получилась, и пришлось вдобавок немного уменьшить ёмкость конденсатора в контуре. На сколько процентов была уменьшена ёмкость этого конденсатора для точной настройки приёмника на новую частоту?
Источник: ФИПИ
Приёмник «слышит» станцию, когда собственная частота его контура совпадает с частотой станции. Собственную частоту задаёт формула Томсона, поэтому всё сведётся именно к ней.
Старую частоту получаем из длины волны: f_1=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3\cdot10^8}{3{,}29}\approx91{,}2 МГц. Новая дана сразу: f_2=73{,}82 МГц.
f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}, значит f^2 обратно пропорционально произведению LC. Запишем отношение для двух настроек: \dfrac{f_1^2}{f_2^2}=\dfrac{L_2 C_2}{L_1 C_1}.
Так как L_2=2L_1, получаем \dfrac{f_1^2}{f_2^2}=2\cdot\dfrac{C_2}{C_1}, откуда \dfrac{C_2}{C_1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot(1{,}235)^2\approx0{,}763.
Осталось примерно 76{,}3\,\% ёмкости, значит её уменьшили на 1-0{,}763=0{,}237, то есть примерно на 23{,}7\,\%.
Ответ: ёмкость уменьшили примерно на 23{,}7\,\%.
\approx 23{,}7\,\%